_
物体运动方程为
d2x?(k1?k2)x?m2
dt题11-11图
d2xk1?k2?x?0 2mdt物体作简谐振动，振动角频率为 ??其周期为 T?k1?k2 m2???2?m
k1?k2（2）由图(c)所示，以物体不受力，弹簧自然伸长时，物体位置为原点建立坐标系。当物体在位移x处时，若弹簧k1的伸长为?x1，弹簧k2的伸长为?x2，则
?x1??x2?x k1?x1?k2?x2
解得 ?x1?k2k1x ?x2?x
k1?k2k1?k2k1k2x k1?k2物体受力 f??k2?x2??k1k2d2x物体的运动方程为 ?x?m2
(k1?k2)dtk1k2d2x?x?0 dt2m(k1?k2)物体同样作简谐振动，振动角频率为
??振动周期为T?k1k2
m(k1?k2)2???2?m(k1?k2)
k1k2端系一轻绳，轻绳绕过
11-12 如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一
_
滑轮连接一质量m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动，已知弹簧的倔强系数为k，滑轮的半径为R，转动惯量为J （1）证明物体作简谐振动 （2）求物体的振动周期题
（3）设t?0，弹簧无伸缩，物体也无初速度，写出物体的振动表达式。
解：（1）以系统静止时，物体m的位置为坐标原点，坐标轴垂直向下建立坐标系，设此时弹簧伸长为x1,由牛顿运动定律有
mg?T1?0 T1R?T2R?0 T2?kx1
11-12图
可得 mg?kx1 x1?mg 题11-12图 k当物体在x处时，物体和滑轮的运动方程为
d2xmg?T1?m2 ①
dtT1R?T2R?J? ② T2?k(x1?x) ③ d2x?R? ④ dt2Jd2x解方程①-②，可得(2?m)2?mg?k(x1?x)
Rdt由于mg?kx1
_
Jd2x(2?m)2??kx Rdtd2xk?x?0 22dtm?JR由此证明物体做简谐振动。 （2） 振动圆频率为 ??k 2m?JRm?JR2物体振动周期为 T? ?2??k2?（3） 设振动方程为 x?Acos(?t??0) 其中 ??k 2m?JRmg k由初始条件，t?0时，v0?0,x0??x1??有 A?x?202v0??x0?x1?mg kcos?0??1 ?0??
物体振动表达式为 x?mgkcos(t??) km?JR211-13 如图所示，一长为l、质量为m的均匀细棒，用两根长L的细绳分别拴在棒的两端，把棒悬挂起来，若棒绕通过中心的竖直轴OO?作小角度的摆动，试确定其周期。
解：细棒受力分析如图所示。将绳中张力分解，在竖直方向上有
2Fcos??mg ①
在水平方向上的分力构成一对力偶，力矩的大小为
M?Flsin? ②
_
结合①式有 M?1mgltan? ③ 2
题11-13图
力矩的方向与细棒角位移方向相反，由定轴转动定律
M?J? ④
1d2?有 ?mgltan??J2 ⑤
2dtl在小角度近似下有tan??? L???
21ld2?代入⑤式有 ?mgl???J2
22Ldt细棒绕中心轴转动惯量 J?1ml2 122112d?2ml?mgl??0 2124Ldtd2?3g 2???0
Ldt振动角频率为 ??3g L振动周期为T?2???2?L 3g11-14 在简谐振动中，当位移为振幅的一半时，总能量中有多大一部分为动能，多大一部分为势能？在多大位移处动能与势能相等？
解：在简谐振动中物体总能量
_
E?其中A为振幅 当x?111mv2?kx2?kA2 222A1A111时 Ep?k()2??kA2?E 22242411313Ek?E?Ep?kA2?kA2??kA2?E
24424即总能量中有34为动能，14为势能。 若Ek?Ep，由于Ek?Ep?E 故 Ep?Ek?111E??kA2 2222111A 这时若物体位移为x1，则kx12??kA2， x1??2222即在位移?2A处，动能和势能相等。 211-15 两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为A1?0.05m，
A2?0.07m，合成后组成一个振幅为0.09m的简谐振动，求两个分振动的相位
差。
解：由同方向、同频率振动合成公式
2A?A12?A2?2A1A2cos??
2A2?A12?A2(0.09)2?(0.05)2?(0.07)2有 cos?????0.1
2A1A22?0.05?0.07????84?16?
11-16 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：
?5?x1?0.04cos(2t?) x2?0.03cos(2t?)
66试求合振动的振幅与初相位（式中x以m计，t以s计）。
解：由 x1?0.04cos(2t?)m
6?
大学物理课后答案解析第十一章
