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d2y有 ?ky?(M?m)2
dtd2yk?y?0 dt2M?m系统的振动方程为 y?Acos(?t??0) ??由初始条件t?0时，y?y0??k M?mmg?m ， v0?u0 kM?m2有 A???m?u0?v02mg2?2y0?() =(?)??M?m?
?k??k???M?m?2m2u0mg2=()?
k(M?m)k?0?arctan(?v0)?arctan(??y0mu0M?m) kmg(?)M?mk??arctan(?uk?0)
M?mg2m2u0mg2故系统振幅为 A?()?
k(M?m)k周期为 T?2?（2） 系统的振动方程为
M?m k2?m2u0u?mg2kky?()?cos??t?arctan(??0)?
k(M?m)kM?mg??M?m物块从初始位置运动到最高点时，y??A
?u?kkcos??t?arctan(??0)???1
M?mg??M?m第一次到达最高点时
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ukk?t?arctan(??0)?? M?mM?mgt?uM?mk[??arctan(??0)] kM?mg11-8 一水平放置的弹簧振子，已知物体经过平衡位置向右运动时速度
1v?1.0m?s?1，周期T?1.0s，求再经过s时间，物体的动能是原来的多少倍，
3设弹簧的质量不计。
解：取向右的方向为x轴的正向，设物体平衡位置为坐标原点，物体的振动方程为
x?Acos(?t??0)
由于 T?1.0s,??2??2? T故 x?Acos(2?t??0) 将物体经过平衡位置向右运动时取为t?0时刻
则 x0?Acos?0?0 v0?1.0m?s?1?A??2?A
1?,cos?0?0 ?0?? 2?21?因而物体振动方程为 x?cos(2?t?)
2?2dx?物体的振动速度为v???sin(2?t?)
dt212??11当t?s时， v??sin(?)??sin(?)??m?s?1
3326211此时物体动能为 E??mv2?m J
28112初始时刻物体动能为 E?mv0?m J
22E?1? E4有 A?即13秒后物体动能是原来的14。
11-9 一质量10g的物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0 _
时，位移为?24cm，求：
（1）t?0.5s时，物体所在的位置；
（2）t?0.5s时，物体所受力的大小与方向； （3）由起始位置运动到x?12cm处所需的最少时间；
（4）在x?12cm处，物体的速度、动能以及系统的势能与总能量。 解：令振动方程为 x?Acos(?t??0) 由题意有 A?24cm，T?4.0s，??且t?0时，x0?A,cos?0?1初相位?0?0 振动方程为 x?(24cos2??? T2?2t)cm
所以（1）t?0.5s时，x?24cos()?122cm=17.0cm
4d2x（2）F?ma?m2??m?2Acos(?t??0)
dt???t?0.5s时，F??10?10?3?24?10?2?()2?cosN??4.19?10?3N
24负号表示力的方向沿x轴负向。
?1??（3）当x?12cm时，cos(t)?，位相t取值为2n??,(n?0,1,2,...)。
2223??2最少的时间 t=,t?s
233（4）x?12cm时，v?dx?3??12?sint??12?cm?s?1??32.6cm?s?1 dt22正负号表示物体可能向x轴正向或负向运动。 此时动能：Ek?势能：Ep?11mv2??10?10?3?(32.6?10?2)2J=5.33?10?4J 22k，有k?m?2 m12kx，由??2Ep?11?m?2x2??10?10?3?()2?(12?10?2)2J=1.78?10?4J 222 _
总能量：E?Ep?Ek?7.11?10?4J
11-10 如图所示，一个水平面上的弹簧振子，弹簧的倔强系数为k，所系物体的质量为M，振幅为A，有一质量m的物体从高度h处自 由下落。当振子在最大位移处，物体正好题 落在M上并粘在一起，这时振动系统的
振动周期、振幅和振动能量有何变化？如 题 11-10图 果物体m是在振子到达平衡位置时落在M 上，这些量又如何？
解：粘土未落在M上时系统的振动周期为
T0?2?M k
粘土落在M上时，系统的振动周期为
T?2?M?m , T?T0 k当M正好处于最大位移处，即x??A时，此时v?0，粘土落下后，x方向速度仍为零，此时振子仍处于最大位移处，振幅不变。系统能量为kA22也不变。
当M处于平衡位置时，系统在平衡位置x?0，此时
v??vmax??A?0??Ak,A为系统原来的振幅。 M粘土落下与M碰撞后的速度v?，可由动量守恒定律求出
(M?m)v??Mv
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v??MMAv??M?mM?mkkM??A MM?m若粘土落下后M的振幅A?，由初始条件x0?0,v0?v?
kMAv02M?m有 A??x0?()???kM?mMA M?mA??A
此时系统能量为 E??11MM12MkA??kA2?kA?E 22M?mM?m2M?mE?12kA为粘土未落下时系统的能量， 211-11 在光滑的桌面上，有倔强系数分别为k1与k2的两个弹簧以及质量
为m的物体，构成两种弹簧振子，如图所示，试求这两种系统的固有角频率。
题11—11图
解：（1）由图(b)所示，设弹簧原长分别为l1、l2，平衡时弹簧的伸长量分别为?l1和?l2，如不计物体尺寸。则
l1??l1?l2??l2?L
k1?l1?k2?l2
以平衡点O为坐标原点，x轴向右建立坐标系，当小球向x轴正向移动x时， 物体受力
f?f1?f2??k1(?l1?x)?k2(?l2?x)
由于k?l1?k2?l2， 因而f??(k1?k2)x
大学物理课后答案解析第十一章
