2020北京大学自主招生数学试题 1 求证：边长为1的正五边形对角线长为5?12 B1x12xD1-x5E3Axx4C 略解： 三角形ABE∽三角形DAE x1?x?1x则：x?5?125?12 对角线AC=1+x= 2 已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1 求证△ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半 B1CAPC1BA1 略解：如图得证 3 已知 a1?a2?a3?b1?b2?b3a1a2?a2a3?a3a1?b1b2?b2b3?b3b1min(a1,a2,a3)?min(b1,b2,b3)求证：max(a1,a2,a3)?max(b1,b2,b3)4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分） 解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支 2所有球队总得分为C2x?9? (2x?9)(2x?8)?(2x?9)(x?4) 2南方球队总得分为9(2x?9)(2x?8)9(x?9)(x?4) ?10210北方球队总得分为(2x?9)(x?4) 102南方球队内部比赛总得分Cx?9 北方球队内部比赛总得分Cx 2(2x?9)(x?4)x(x?1)??0 10211?22911?22911?16?x???9 333解得：因为(2x?9)(x?4)为整数 10x=6或x=8 当x=6时 2所有球队总得分为C2x?9?(2x?9)(2x?8)?(2x?9)(x?4)=210 2南方球队总得分为9(2x?9)(2x?8)9(x?9)(x?4)=189 ?10210(2x?9)(x?4)=21 102北方球队总得分为南方球队内部比赛总得分Cx?9=105 北方球队内部比赛总得分Cx=15 北方胜南方得分=21-15=6 北方球队最高得分=5+6=11 因为11×15=165<189 所以南方球队中至少有一支得分超过11分． 冠军在南方球队中 当x=8时 所有球队总得分为C2x?9?22(2x?9)(2x?8)?(2x?9)(x?4)=300 2南方球队总得分为9(2x?9)(2x?8)9(x?9)(x?4)=270 ?10210北方球队总得分为(2x?9)(x?4)=30 102南方球队内部比赛总得分Cx?9=136 北方球队内部比赛总得分Cx=28 北方胜南方得分=30-28=2 北方球队最高得分=7+2=9 因为9×17=153<270 所以南方球队中至少有一支得分超过9分． 冠军在南方球队中 综上所述，冠军是一支南方球队 5 （理科）O-XYZ坐标系内 xoy平面系内0?y?2?x绕y轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源 xoy平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2π 求C上未被照到的长度
22答案：
1. 求证边长为1 的正5边形对角线长为（1+5^(1/2))/2
2. 六边形AB1CA1BC1中， AB1=B1C，CA1 =A1B，AC1 =BC1 ，角A+角B+角C=角A1+角B1+角C1, 求证三角形ABC面积是六边形面积的一半
3. 已知a1+a2+a3=b1+b2+b3, a1*a2+a2*a3+a1*a3=b1*b2+b2*b3+b1*b3 若已知
min{a1,a2,a3}<=min{b1,b2,b3} 求证：max{a1,a2,a3}<=max{b1,b2,b3}
4. 南方队和北方队打循环赛，南方队比北方队多9支队伍，最后南方队总分是北方队的九倍（胜者得1分，负者得0分），求证最后得分最高的是一支南方的队。
5.（只理科生做）
在空间坐标系oxyz中，c是由平面图形y-2=x^2 绕 y 轴旋转后所得的不透光的立体图形。现在（1，0，1）处有一点光源p。
圆a是以原点o为圆心的位于x-y平面上的圆，且圆上被光源照到的部分长为 2 TT （派），求圆上阴影部分长度。
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