2024年甘肃省武威市古浪县直滩中学初中数学竞赛试卷(初赛)
一、选择题（每小题5分）
1．设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（ ） A．M＝P
B．M＞P
C．M＜P
D．不确定
2．已知 m﹣n＝﹣5，m2+n2＝13，那么m4+n4＝（ ） A．79
B．50
C．100
D．97
3．方程（x2+x﹣1）x+3＝1的所有整数解的个数是（ ） A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k为整数，当直线y＝x+2与直线y＝kx﹣4的交点为整点时，k的值可以取（ ）个． A．8个
B．9个
C．7个
D．6个
5．已知⊙O1与⊙O2是平面上相切的半径均为1的两个圆，则在这个平面上有（ ）个半径为3的圆与它们都相切． A．2
B．4
C．5
D．6
6．若a，b均为质数，且a2+b＝2003，则a+b的值为（ ） A．1999 7．直线A．k≤1
C．﹣1≤k≤1且k≠0
B．2000
C．2001
D．2002
与x轴y轴的交点分别为A、B，如果S△AOB≤1，那么k的取值范围是（ ）
B．0＜k≤1
D．k≤﹣1或k≥1
的圆O2，则图中阴影部分的面积为（ ）
8．如图，一个半径为3的圆O1的圆心经过一个半径为3
A．
9．甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（ ）
B．9
C．
D．
A． B． C． D．
10．一列武广高速列车和一列普通列车的车身长分别为400米和600米，它们相向匀速行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的乘客看见普通列车驶过窗口的时间是3秒，则坐在普通列车上的乘客看见高速列车驶过窗口的时间是（ ） A．2秒
B．3秒
C．4秒
D．4.5秒
二、填空题（每小题5分） 11．当x分别等于
，
，
，
，
，
，2000，2001，2002，2003，2004，
2005时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于 ．
12．抛物线y＝2x2﹣4x﹣5向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得抛物线C，则C关于y轴对称的抛物线解析式是 ．
13．设x1、x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则k的值是 ． 14．规定一种运算“*”：对于任意实数对（x，y）恒有（x，y）*（x，y）＝（x+y+1，x2﹣y﹣1）．若实数a，b满足（a，b）*（a，b）＝（b，a），则a＝ ，b＝ ．
15．已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO＝150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为 ．
三、解答题（16题15分，17题30分）
16．如图，一次函数的图象过点P（2，3），交x轴的正半轴与A，交y轴的正半轴与B，求△AOB面积的最小值．
17．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根
x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）求
的最大值．
参考答案
一、选择题（每小题5分）
1．【解答】解：由题意得：a+b+c＝3M，a+b＝2N，N+c＝2P； ∴M＝P＝N＝
， ，
，
∴将N代入P可得： P＝M﹣p＝又∵a＞b＞c， ∴a+b+c＞3c， ∴M﹣p＞0， ∴M＞P； 故选：B．
2．【解答】解：∵m﹣n＝﹣5，
∴（m﹣n）2＝25，即m2﹣2mn+n2＝25， 而m2+n2＝13， ∴mn＝﹣6，
∵m4+n4＝（m2+n2）2﹣2m2n2＝132﹣2×（﹣6）2＝97． 故选：D．
3．【解答】解：（1）当x+3＝0，x2+x﹣1≠0时，解得x＝﹣3； （2）当x2+x﹣1＝1时，解得x＝﹣2或1． （3）当x2+x﹣1＝﹣1，x+3为偶数时，解得x＝﹣1 因而原方程所有整数解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4个． 故选：B．
4．【解答】解：由题意得：
，
；
；
解得：，
∴k可取的整数解有0，2，﹣2，﹣1，3，7，4，﹣5共8个． 故选：A．
5．【解答】解：根据题意半径均为1的两个圆与半径为3的圆相切，如下图，易知：共有6个大圆与
径均为1的两个圆相切．故选：D．
6．【解答】解：由于2003是奇数，所以a，b中必有一个数是偶数2． 若b＝2，则a2＝2001，而2001不是完全平方数． 故a＝2，b＝1999，有a+b＝2001． 故选：C．
7．【解答】解：令x＝0，则y＝k，得B（0，k）； 令y＝0，则x＝﹣2k，得A（﹣2k，0），
所以OA＝|2k|，OB＝|k|，S△AOB＝?|2k|?|k|＝k2≤1， 所以﹣1≤k≤1且k≠0． 故选：C．
8．【解答】解：连接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B， ∵CO2＝CA＝3，O2A＝∴CO22+CA2＝O2A2，
∴∠O2CA＝90°，同理∠O2CB＝90°，
∴点A、C、B在同一条直线上，并且∠AO2B＝90°， ∴AB是圆O1的直径，
，
2024年甘肃省武威市古浪县直滩中学初中九年级数学竞赛试卷（初赛）解析版
