文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 充分条件与必要条件·典型例题
能力素质
例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的
[ ]
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换．
解 ∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5．
因此选A．
说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是
[ ]
A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价．
解 对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．p对C．p
q但qq且q
p，p是q的充分非必要条件； p，p是q的必要非充分条件；
说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．
例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的
[ ]
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 通过B、C作为桥梁联系A、D． 解 ∵A是B的充分条件，∴AB① ∵D是C成立的必要条件，∴CD② 由①③得AC④ 由②④得AD．
∴D是A成立的必要条件．选B． 说明：要注意利用推出符号的传递性．
例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的
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[ ]
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定．
解 解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．
∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A．
说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B． 当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件． 例5 设A、B、C三个集合，为使A
(B∪C)，条件A
B是
[ A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图． ∴A
(B∪C)．
但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时， 显然A
(B∪C)，但A
B不成立， 综上所述：“AB”“A
(B∪C)”，而
“A(B∪C)”
“A
B”．
即“A
B”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要)．选A．
说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件： (1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根； (4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1． 其中p是q的充要条件的有
[ A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
分析 使用方程理论和不等式性质． 解 (1)p是q的必要条件 (2)p是q充要条件 (3)p是q的充分条件
(4)p是q的必要条件．选A．
]
]
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说明：ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零． 分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．
点击思维
例8 已知真命题“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．
分析 ∵a≥bc＞d(原命题)， ∴c≤da＜b(逆否命题)． 而a＜be≤f，
∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件． 答 填写“充分”．
说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．
例9 ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是
[ ]
A．0＜a≤1 B．a＜1 C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0
分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝
当a≠0时
综上所述a≤1．
即ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．
说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．
例10 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？
分析 画出关系图1－21，观察求解． 解 s是q的充要条件；(srq，qs) r是q的充要条件；(rq，qsr) p是q的必要条件；(qsrp) 说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系． 例11 关于x的不等式
分析 化简A和B，结合数轴，构造不等式(组)，求出a．
解 A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}
B＝{x|2≤x≤3a＋1}． B＝{x|3a＋1≤x≤2}
说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．
学科渗透
要条件？
分析 将充要条件和不等式同解变形相联系． 说明：分类讨论要做到不重不漏．
充分条件与必要条件典型例题
