高中数学选修2–2知识点
第一章 导数及其应用
一．导数概念
1.导数的定义：函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是limf(x0??x)?f(x0)，称它为函数y?f(x)在
?x?0?xx?x0处的导数，记作f?(x0)或y?|x?x0，即f?(x0)=lim?x?0f(x0??x)?f(x0)。导数的物理意义：瞬时速率。
?x2．导数的几何意义：通过图像可以看出当点Pn无限趋近于P时，割线PPn趋近于稳定的位置直线PT，我们说直线PT与曲线相切。割线PPn的斜率是k?f(xn)?f(x0)，当点Pn趋近于P时，函数y?f(x)nxn?x0在x?x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k?limf(xn)?f(x0)?f?(x)
0?x?0xn?x03．导函数：当x变化时，f?(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数. y?f(x)的导函数记作y?,即f?(x)?limf(x??x)?f(x)
?x?0?x二.导数的计算
1）基本初等函数的导数公式:
?1．若f(x)?c(c为常数)，则f?(x)?0； 2. 若f(x)?x,则f?(x)??x??1;
3. 若f(x)?sinx, 则f?(x)?cosx 4 . 若f(x)?cosx,则f?(x)??sinx;
xxxx5. 若f(x)?a, 则f?(x)?alna 6. 若f(x)?e,则f?(x)?e
7. 若f(x)?logax, 则f?(x)?2）导数的运算法则
1 8. 若xlnaf(x)?lnx,则
f?(x)?1 x1. [f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x) 2. [f(x)?g(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) 3. [f(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)
2g(x)[g(x)]3）复合函数求导
y?f(u)和u?g(x),称则y可以表示成为x的函数,即y?f(g(x))为一个复合函数y??f?(g(x))?g?(x)
三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:
(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内，如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间单调递增；如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间单调递减.
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(2).已知函数的单调性求参数的取值范围:
“若函数单调递增，则f?(x)≥0；若函数单调递减，则f?(x)≤0”.注意公式中的等号不能省略，否则漏解. 2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数y?f(x)的极值的方法是:(1)确定函数的定义域；(2)求导数f?(x) ; (3)求方程f?(x)=0的根;
(4)如果在x0附近的左侧f?(x)?0,右侧f?(x)?0,那么f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧f?(x)?0,右侧f?(x)?0,那么f(x0)是极小值;
3.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数y?f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数y?f(x)在(a,b)内的极值；
（2） 将函数y?f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.
4.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
考点：1、导数在切线方程中的应用. 2.导数在单调性中的应用
3、导数在极值、最值中的应用. 4、导数在恒成立问题中的应用
5.定积分
(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限
?(2)定积分几何意义：
bbaf(x)dx=lim?f(?i)?xi
n??i=1n①?f(x)dx (f(x)?0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积.
a②?f(x)dx (f(x)?0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相反数.
ab(3)定积分的基本性质： ①?kf(x)dx=k?f(x)dx
aabb②?[f1(x)?f2(x)]dx=?f1(x)dx??f2(x)dx
aaabbb③?f(x)dx=?f(x)dx+?f(x)dx
aacbcb- 2 -
(4)求定积分的方法：
①定义法：分割—近似代替—求和—取极限 ②利用定积分几何意义
’（x）=f(x) ③微积分基本公式?f(x)?F(b)-F(a),其中Fba第二章 推理与证明
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤：
?通过观察个别情况发现某些相同的性质；
?从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）； ?证明（视题目要求，可有可无）. 2、类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤：
?找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
?用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ?检验猜想。 3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论”，包括 ⑴大前提-----已知的一般原理； ⑵小前提-----所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断． 5、直接证明与间接证明
⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤： (1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； (3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立.
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6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤;
*（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0?N)时命题成立；
*（2）（归纳递推）假设n?k(k?n0,k?N)时命题成立，推证当n?k?1时命题也成立. 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
第三章 数系的扩充与复数的引入
一:复数的概念
(1) 复数:形如a?bi(a?R,b?R)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数a?bi(a?R,b?R)中,当b?0,就是实数; b?0,叫做虚数;当a?0,b?0时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 2．相关公式 z=a?bi(a?R,b?R)
⑴a?bi?c?di?a?b,且c?d ⑵a?bi?0?a?b?0 ⑶z?a?bi?为共轭复数）. 3．复数运算
⑴复数加减法：?a?bi???c?di???a?c???b?d?i； ⑵复数的乘法：?a?bi??c?di???ac?bd???bc?ad?i；
虚部互为相反数（互a2?b2 ⑷若z?a?bi 则 z?a?biz，z指两复数实部相同，
a?bi?a?bi??c?di??⑶复数的除法：
c?di?c?di??c?di???ac?bd???bc?ad?i?ac?bd?bc?adi
c2?d2c2?d2c2?d2（类似于无理数除法的分母有理化?虚数除法的分母实数化） 4.常见的运算规律
(1)z?z;2(2)z?z?2a,z?z?2bi;
2(3)z?z?z?z?a2?b2;(4)z?z;(5)z?z?z?R;(6)i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?4?1;
(7) ?1?i?21?i1?i ?1?i???i; (8) ?i, ??i, ???i?1?i1?i?2?2(9)设???1?3i3n?12??,?3n?2??,?3n?3?1 是1的立方虚根，则1?????0，?2- 4 -
基础练习：
1．若z?cos??isin?（i为虚数单位），则z2??1的?值可能是
???? B. C. D. 64324?3i
2．复数的实部是（ ）
1+2iA．?2 B．2 C．3 D．4
A.
3．设z的共轭复数是z，若z+z=4, z·z＝8，则
z等于 zA. i B -i C ±1 D. ±i 4．f(x)=ax3+3x2+2 ，f?(?1)?4，则a=（ ）
A.1033B.133C.163D.19 35．曲线y?x在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1） C.（2，8） D.（?6．曲线y??11，?） 2813x?x2?5，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） 3??3?4A.6 B.4 C.3 D.
32f(x)?x?3x?1是减函数的区间为( ) 7．函数
A.(2,??) B.(??,2) C.(??,0) D.(0,2) 8．关于函数f(x)?2x?6x?7，下列说法不正确的是（ ）
A．在区间（??，0）内，f(x)为增函数 B．在区间（0，2）内，f(x)为减函数
32?(2,??)内,f(x)为增函数 C．在区间（2，??）内，f(x)为增函数 D．在区间（??，0）
?9．已知函数y?xf(x)的图象如右图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y?f(x)
的图象大致是（ ）
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