第八节 微分形式的外微分
一 微分形式及其外积
我们知道, 一个可微函数f(x1,x2,,xn)的全微分为
ndf??i?1?fdxi. ?xidxn看作一个线性空间
它是dx1,dx2,的基.
dxn的线性组合, 一个很自然的想法是将dx1,dx2,设?是?上的区域, 记x?(x1,x2,体. 将dx1,dx2,nxn), C1(?)(i?1,2,,n)为?上连续可微函数全
dxn看作一组基, 其线性组合
a1(x)dx1?a2(x)dx2??an(x)dxn,ai(x)?C1(?)(i?1,2,1,n)
1
称为一次微分形式,简称1-形式. 1-形式的全体记为?(?)(或?).
11
如果对?中的元素定义加法、数乘、零元和负元等, 就可以使?成为一个C(?)上的
11线性空间. 对于任意?,???:
??a1(x)dx1?a2(x)dx2???b1(x)dx1?b2(x)dx2?定义???和??(??C(?))为
1?an(x)dxn, ?bn(x)dxn,
????(a1(x)?b1(x))dx1?(a2(x)?b2(x))dx2????(?(x)a1(x))dx1?(?(x)a2(x))dx2?进一步定义?中的零元为
1
?(an(x)?bn(x))dxn, ?(?(x)an(x))dxn,
0?0dx1?0dx2?且定义负元为
?0dxn,
???(?a1(x))dx1?(?a2(x))dx2?1
显然?成为一个C(?)上的线性空间.
1?(?an(x))dxn
为了得到二次微分形式, 我们先引入向量的外积这个概念.
设a?(a1,a2), b?(b1,b2)为平面?上两个线性无关的向量, 我们将行列式
2a1a2b1b2称为向量a与b的外积, 记为a?b, 即
a?b?na1a2.
b1b2平面上的向量的外积的讨论可以推广到?上去. 设
ai?(ai1,ai2,定义他们的外积为
,ain),a11a21a12a22i?1,2,,n,
a1?a2??an?a1na2nann.
an1an2它是由a1,a2,律.
类似于向量的外积, 规定
,an所张成的平行2n面体的有向体积. 而且这种体积满足反对称性和分配
dxi?dxj??dxj?dxi,dxi?dxi?0(i,j?1,2,因此共有Cn个有序元
2,n).
dxi?dxj,1?i?j?n.
以这些有序元为基就可以构造一个线性空间?. 其中?的元素称为二次微分形式. 简称2-形式. 于是?中的元素可以表示为
2221?i?j?n?gij(x)dxi?dxj.
这种形式称为2-形式的标准形式.
一般地, 在{dx1,dx2,,dxn}中任意选取k个组成有序元, 记为
dxi1?dxi2??dxik,
这里i1,i2,,ik是从集合{1,2,,n}中选取的任意k个整数. 规定
?dxk,1?i1?i2?kkdxi1?dxi2??ik?n.
以这些有序元为基构造一个线性空间?. 其中?的元素称为k次微分形式. 简称k-形式. 于是一般k-形式就可以表示为
1?i1?i2??ik?n?gi1,i2,,ik(x)dxi1?dxi2??dxik.
这种形式称为k?形式的标准形式.
显然, 当k?n时, 总有dxi1?dxi2??dxik?0, 因此?k?{0}.
?上的连续可微函数称为0?形式, 它们的全体记为?0, 它是一个线性空间, 函数
g?1是它的一个基.
现在把dxi?dxj中的?理解为一种运算. 对于任意?,???:
1??a1(x)dx1?a2(x)dx2???b1(x)dx1?b2(x)dx2?定义?与?的外积为
?an(x)dxn, ?bn(x)dxn,
????它是?中的元素.
21?i?j?n?ai(x)aj(x)bi(x)bj(x)dxi?dxj
ij下面把这样的外积定义推广到任意的?和?上去. 若记?为线性空间?,?,0101?Cn???n, 于是?是一个2n(因Cn01,?n之和, 即有??????n?Cn?2n)维的线性
空间, 因此?中的元素的一般形式为
???0??1?记dxI?dxi1?dxi2???n,?i??i,i?0,1,,n.
?dxip,dxJ?dxj1?dxj2??dxjq. 则
?dxjq
JJdxI?dxJ?dxi1?dxi2?它是(p?q)?形式. 对一般p?形式??和?的外积???为
I?dxip?dxj1?dxj2?II?g(x)dx和q?形式???h(x)dxJ, 定义??????gIhJ(x)dxI?dxJ.
I,J它是(p?q)?形式. 对于0?形式f,我们补充定义
f??f????f(x)gI(x)dxI,???p
I
二 外微分的基本概念
n设???为区域, ?上的可微函数f(x1,x2,n,xn)的全微分为
df???fdxi. n?1?xi这可以理解为: 一个0-形式作了微分运算后成为了1-形式.
现在将微分运算推广到?k上去. 对?k中的任意一个k-形式.
??定义
1?i1?i2??ik?n?gi1i2ik(x)dxi1?dxi2??dxik,
d???01?i1?i2??ik?n?(dgi1i2nik(x))?dxi1?dxi2?ik?dxik ?dxik
1?i1?i2??ik?ni?1???gi1i2?xidxi?dxi1?dxi2?同时,对空间??????n上的任意一个元素
???0??1?定义
??n,?i??i,
d??d?0?d?1??d?n.
这样,微分运算d:???就是线性的, 即d(?????)??d???d?, ?,???,其中?,?为常数. 这样的微分运算d称为外微分. 显然,
d(dxi1?dxi2??dxik)?d(1dxi1?dxi2??(d1)?dxi1?dxi2??dxik) ?dxik?0.
性质1 设?为k-形式, ?为l-形式, 则
d(???)?d????(?1)k??d?.
证明 (留作练习).
设???, 定义d??d(d?). 在下面的讨论中,我们假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数.
例13.34 设f??为0-形式, 证明df?0.
022?2f?2f证明 由于f具有二阶连续偏导数, 因此. 所以 ??xi?xj?xj?xi?n?f?nn?2fdf?d(df)?d??dxi????dxj?dxi
?i?1?xi?i?1j?1?xj?xi2??2f?2f??????xj?xii?j??xi?xj2?dx?dxj?0. ??i?性质2 对任意???, 有d??0. 证明 由于d的线性性, 只要证明
??a(x)dxi?dxi?12?dxik
这种情形即可. 这时
d??(da(x))?dxi1?dxi2??dxik,
?2??2?由于?具有二阶连续偏导数, 因此. 所以 ??xi?xj?xj?xi?n???nn?2?d??d(d?)?d??dxi????dxj?dxi
?i?1?xi?i?1j?1?xj?xi2??2??2???????x?x?xj?xii?j?ij
因此再由性质1可得
?dx?dxj?0. ??i?d2??d(d?)
?(d2a)?dxi1?dxi2??dxik
?dxik)
?(da)?d(dxi1?dxi2??0?dxi1?dxi2?二 外微分的应用 首先看Green公式
?dxik?(da)?0?0.
??Q?P???dxdy?????x?y?D?n?P?x,y?dx?Q?x,y?dy
L其中闭区域D??的边界由分段光滑的曲线L所围成. 若将dx?dy看成有向面积元素,那么如果将它看成是正面积元素dxdy的话, 上式就可以表示为
第八节微分形式的外微分
