解析几何中的解题方法
1．联立有法：巧用“1”的代换实现齐次化联立，直接构造关于斜率的方程
x2y2
例1.(2018南通一中月考，5分)已知直线y＝－x＋1与椭圆2＋2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且OA⊥OB(O
ab12
为坐标原点)，若椭圆的离心率e∈?，?，则a的最大值为________．
?22?【解析】因为OA⊥OB，a>b>0，所以点A，B的横坐标均不为0，即b≠1.
x2y2??a2＋b2＝1，x2y21y?2?y??1???2
联立?得2＋2＝(x＋y)，整理得?b2－1??x?－2?x?＋?a2－1??＝0， ab
??x＋y＝1，
11???222－1由题知Δ＝4－4??b2??a2－1?>0，化简得a＋b>1，即2a>1.①
1
－1
y1y2a2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为OA⊥OB，所以kOAkOB＝·＝＝－1，
x1x21
－1b2即
b2＋a2＝2a2b2，即
b2＝
a2
. 2a2－1
1c211b211b231137312??又因为e∈，，所以≤2≤，即≤1－2≤，所以≤2≤，所以≤2≤，解得≤a2≤，4a24a22a422a－1462?22?即
4266
≤a≤，满足①式，所以a的最大值为. 622
x2y233例2.(2017全国Ⅰ，12分)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3?－1，?，P4?1，?ab2?2???中恰有三点在椭圆C上． (Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点． 【解析】（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点，所以C不经过P1，
??a＝4，?x所以点P在C上，因此?解得?故C的方程为＋y＝1.
413??b＝1，
?a＋4b＝1，
2
2
2
2
2
2
2
1
＝1，b2
4－t24－t2??
(2)证明：若直线l⊥x轴，依题设方程为x＝t(0＜|t|＜2)，可得A，B的坐标分别为?t，(t，－)，?，22??4－t2－24－t2＋22所以kAP2＋kBP2＝－＝－＝－1，解得t＝2，不符合题设．
2t2tt
因此直线l斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知P2A与P2B的斜率
均存在，则x1≠0，x2≠0，m≠－1.(8分)
y1－1y2－1y′1y′2
依题意得＋＝－1，令y′＝y－1，则有＋＝－1.
x1x2x1x2
xx??4＋y2＝1，??4＋（y′＋1）2＝1，由?得? ??y＝kx＋m，??y′＋1＝kx＋m，
x2
＋y′2＋2y′·1＝0，4y′－kxx2
即所以＋y′2＋2y′·＝0，
4m－1y′－kx
＝1，m－1
22
???
m＋1?y′?22k?y′?1整理得－＋＝0，(10分)
m－1?x?m－1?x?4y′1y′22k
根据根与系数的关系，得＋＝＝－1
x1x2m＋1
所以m＝－2k－1，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)－1，过定点(2，－1)，故原命题得证．
2．化二为一：解决一条直线与两条已知直线相交的问题，可以考虑将两条直线的方程整合成二次方程的形式
x2y2
例：如图，F1，F2分别是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C
ab的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，交PQ于N，若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率为________．
b
【解析】由F1(－c，0)，B(0，b)得直线PQ的方程为y＝(x＋c)，
c
x2y2
双曲线2－2＝1的两条渐近线分别为bx－ay＝0，bx＋ay＝0，两式相乘得b2x2－a2y2＝0，
ab
b??y＝c（x＋c），
联立?得b2x2－2a2cx－a2c2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题知x1，x2为该方程的两个
??b2x2－a2y2＝0，x1＋x2a2ca2cc2
根，Δ>0，所以点N的横坐标为xN＝＝2，代入直线PQ方程得其坐标为N(2，)．又由|MF2|＝|F1F2|
2bbbc??ac??ac2＝2b2，2＝2(c2－a2)，＋c3c－2?，得M(3c，0)，在直角△F1NM中，由射影定理，得?＝所以a即a2
b??b??b??即3a2＝2c2，故e＝
6. 2
22
2
2
3．公式择优而取：根据条件灵活选择面积和弦长的计算公式
(1)面积公式的选取
例1：(2018改编)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的倾斜角为________．
【解析】易知曲线y＝1－x2是一个半圆，其半径为1，如图所示，
111
所以△ABO的面积S＝OA·OBsin∠AOB＝sin∠AOB≤，当且仅当∠AOB＝90°时，S取得最大值，此
2222
212
时△ABO是等腰直角三角形，斜边上的高为OH＝，在直角三角形OPH中，sin∠OPH＝＝，所以∠OPH
222＝30°，所以直线l的倾斜角为150°.
→→
例2：(2018改编)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是________．
→→2
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA·OB＝x1x2＋y1y2＝y21y2＋y1y2＝2，所以(y1y2＋2)(y1y2－1)＝0，又因为点A，B位于x轴的两侧，所以y1y2＜0，所以y1y2＝－2 .
如图所示，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足为M，N，
1111
则S△AOB＝S梯形ABNM－S△AOM－S△BON＝(x1＋x2)(|y1|＋|y2|)－x1|y1|－x2|y2|＝(x1|y2|＋x2|y1|)，因为点A，B
222211111
位于x轴两侧，所以S△AOB＝|x1y2－x2y1|，所以△ABO与△AFO面积之和为S＝|x1y2－x2y1|＋·|y1|＝|y1y2(y1
2224221129
＋y1? ＋|y1|＝＋|y1|≥2－y2)|＋|y1|＝??y1?88|y1|8最小值为3.
（2）过圆锥曲线焦点的弦的弦长公式
x22
例.(2018改编，5分)已知椭圆C：＋y＝1，过点F(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点， 若|AF|＝
22|BF|，则弦长|AB|＝________．
【解析】不妨设点A在x轴上方，点B在x轴下方．
设∠AFx＝θ，则|AF|＝
2－cosθ11|AF|2
，|BF|＝，依题意得＝＝2，解得cosθ＝－，
|BF|32＋cosθ2－cosθ2＋cosθ
29294
·|y1|＝3，当且仅当＝|y1|，即|y1|＝时取等号，故所求|y1|8|y1|83
解析几何中的解题方法
