第3讲 平面向量的数量积
【2013年高考会这样考】 1．考查平面向量数量积的运算．
2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模． 3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系． 【复习指导】
本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．
基础梳理
1．两个向量的夹角
→→
已知两个非零向量a和b(如图)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 2．两个向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
3．向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的数量积． 4．向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)a⊥b?a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别的，a·a＝|a|或者|a|＝a·a；
2
a·b(4)cos θ＝；
|a||b|
(5)|a·b|≤|a||b|.
1
5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a；
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 6．平面向量数量积的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝x1＋y1； (3)cos〈a，b〉＝
2
2
x1x2＋y1y2
； 22
x2x21＋y1 2＋y2
(4)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
→
7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB＝a，则|a|＝离公式)．
一个条件
两个向量垂直的充要条件：a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 两个探究
(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？ (2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？ 三个防范
(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac?b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量
x1－x22
＋y1－y22
(平面内两点间的距
a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，
但可以同时乘以一个向量．
(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．
→→
(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB与BC的夹角应为120°，而不是60°.
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为( )． ππ2π3πA. B. C. D. 3434解析 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝答案 C
2
a·b－312π
＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝. |a||b|3×223
2．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( )． A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) C．m(a＋b)＝ma＋mb 答案 D
3．(2011·广东)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )． A．4 B．3 C．2 D．0
解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D
4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于( )． A．9 B．4 C．0 D．－4 解析 a－b＝(1－x,4)． 由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0. ∴x＝9. 答案 A
5．(2011·江西)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________． 解析 由|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2， 得a·b＝2，cos〈a，b〉＝答案
π
3
B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c D．(a·b)·c＝a·(b·c)
a·b21π
＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]所以〈a，b〉＝. |a||b|2×223
考向一 求两平面向量的数量积
→→→→→
【例1】?(2011·合肥模拟)在△ABC中，M是BC的中点，|AM|＝1，AP＝2PM，则PA·(PB＋→
PC)＝________.
→→→
[审题视点] 由M是BC的中点，得PB＋PC＝2PM.
→→→→→→→→
解析 如图，因为M是BC的中点，所以PB＋PC＝2PM，又AP＝2PM，|AM|＝1，所以PA·(PB＋
→
PC)
4→44→→→2
＝PA·2PM＝－4|PM|＝－|AM|2＝－，故填－. 999
3
高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第3讲 平面向量的数量积教案 理 新人教版(2)
