听下面段对话或独白。每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的、、三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。In its early historChicago had floods frequently, especially in the spring, making the streets so muddy that people, horse第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题
1．(2016·全国Ⅱ卷)圆x＋y－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则
2
2
a＝
( )
43
A．－ B．－ C.3 D．2
34
解析 由圆的方程x＋y－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式|1×a＋4－1|4得d＝＝1，解之得a＝－. 31＋a2答案 A
2．(2017·景德镇模拟)过点(3,1)作圆(x－1)＋y＝r的切线有且只有一条，则该切线的方程为
( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
解析 ∵过点(3,1)作圆(x－1)＋y＝r的切线有且只有一条，∴点(3,1)在圆(x－1)＋y＝r上，
1－01
∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，
3－12∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B. 答案 B
3．已知圆x＋y＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是
( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
解析 将圆的方程化为标准方程为(x＋1)＋(y－1)＝2－a，所以圆心为(－1,1)，半径
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝
－a－2＝4，所以a＝－4，故选B. 答案 B
|－1＋1＋2|22
＝2，故r－d＝4，即22
4．圆x＋2x＋y＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
|－1－2＋1|22
解析 圆的方程化为(x＋1)＋(y＋2)＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d＝
2
22
听下面段对话或独白。每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的、、三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。In its early historChicago had floods frequently, especially in the spring, making the streets so muddy that people, horse＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点． 答案 C
5．(2017·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)＋y＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为
( )
A．y＝－
3131
B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－ 4224
2
2
2
2
解析 圆(x－1)＋y＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)＋(y＋1)＝1，
2
2
－＋－2－
1
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－. 故选B.
2答案 B 二、填空题
6．(2016·全国Ⅲ卷) 已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x＋y＝12交于A，B两点，过A，
2
2
B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
?x－3y＋6＝0，
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?
?x2＋y2＝12，
得y－33y＋6＝0，解得y1＝3，y2＝23， ∴A(－3，3)，B(0,23)． 过A，B作l的垂线方程分别为
2
y－3＝－3(x＋3)，y－23＝－3x，令y＝0，
得xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4. 答案 4
7．(2017·兰州月考)点P在圆C1：x＋y－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x＋y＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________． 解析 把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得 (x－4)＋(y－2)＝9，(x＋2)＋(y＋1)＝4.
圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2. 圆心距d＝＋
＋
＋
＝35.
2
2
2
2
2
2
2
2
所以，|PQ|的最小值是35－5. 答案 35－5
8．(2017·铜川一模)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)＋y＝1引切线，则切线长的最小值为________.
2
2
听下面段对话或独白。每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的、、三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。In its early historChicago had floods frequently, especially in the spring, making the streets so muddy that people, horse解析 设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝|PM|2－|MQ|2＝|PM|2－1.
要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．
设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝22.所以|PQ|＝|PM|2－1≥答案
7
2
|3－0＋1|12＋－
＝22.所以|PM|的最小值为
－1＝7.
三、解答题
9．(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)＋(y－3)＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围；
→→
(2)若OM·ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 解 (1)易知圆心坐标为(2,3)，半径r＝1， 由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1， 因为l与C交于两点，所以4－74＋7解得 33所以k的取值范围为? |2k－3＋1| <1. 1＋k2 2 2 ?4－74＋7? ，?. 3??3 2 2 (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 将y＝kx＋1代入方程(x－2)＋(y－3)＝1，整理得 (1＋k)x－4(1＋k)x＋7＝0. 所以x1＋x2＝＋7 ，x1x2＝. 1＋k21＋k2 2 2 →→ OM·ON＝x1x2＋y1y2 ＝(1＋k)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝由题设可得＋1＋k2 2 ＋1＋k2 ＋8. ＋8＝12， 解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1. 故圆心C在l上，所以|MN|＝2. 10．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)＋(y＋1)＝12. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点； 2 2
精选2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系配套练习文北师大版
