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第十一讲 份数法
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广安岳池 姚文国
把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数或未知数为1份数，然后先求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。
（一）以份数法解和倍应用题
已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。
例1某林厂有杨树和槐树共320棵，其中杨树的棵数是槐树棵数的3倍。求杨树、槐树各有多少棵？（适于四年级程度）
解：把槐树的棵数看作1份数，则杨树的棵数就是3份数，320棵树就是（3+1）份数。
因此，得：
320÷（3+1）=80（棵）…………………槐树
80×3=240（棵）…………………杨树
答略。
例2 甲、乙两个煤场共存煤490吨，已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。甲、乙两个煤场各存煤多少吨？（适于四年级程度） 解：题中已经给出两个未知数之间的倍数关系：甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。因此可将乙煤场的存煤数量看作1份数，甲煤场的存煤数量就相当于乙煤场存煤数量的4倍（份）数少10吨，两个煤场所存的煤490吨就是（1+4）份数少10吨，（490+10）吨就正好是（1+4）份数。
所以乙场存煤：
（490+10）÷（1+4）
=500÷5
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=100（吨） 甲场存煤：
490-100=390（吨）
答略。
例3 妈妈给了李平10.80元钱，正好可买4瓶啤酒，3瓶香槟酒。李平错买成3瓶啤酒，4瓶香槟酒，剩下0.60元。求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱？（适于五年级程度）
解：因为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶香槟酒，结果剩下0.60元，这说明每瓶啤酒比每瓶香槟酒贵0.60元。把每瓶香槟酒的价钱看作1份数，则4瓶啤酒、3瓶香槟酒的10.80元钱就是（4+3）份数多（0.60×4）元，（10.80-0.60×4）元就正好是（4+3）份数。
每瓶香槟酒的价钱是：
（10.80-0.60×4）÷（4+3）
=8.4÷7 =1.2（元）
每瓶啤酒的价钱是：
1.2+0.60=1.80（元）
答略。
（二）以份数法解差倍应用题
已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做差倍应用题。
例1 三湾村原有的水田比旱田多230亩，今年把35亩旱田改为水田，这样今年水田的亩数正好是旱田的3倍。该村原有旱田多少亩？（适于五年级程度） 解：该村原有的水田比旱田多230亩（图11-1），今年把35亩旱田改为水田，则今年水田比旱田多出230+35×2= 300（亩）。根据今年水田的亩数正好是旱田的3倍，以今年旱田的亩数为1份数，则水田比旱田多出的300亩就正好是2份数（图11-2）。
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今年旱田的亩数是：
（230+35×2）÷ 2
=300÷2 =150（亩）
原来旱田的亩数是：
150+35=185（亩）
综合算式：
（230+35×2）÷2+35
=300÷2+35 =150+35 =185（亩） 答略。
*例2 和平小学师生步行去春游。队伍走出10.5千米后，王东骑自行车去追赶，经过1.5小时追上。已知王东骑自行车的速度是师生步行速度的2.4倍。王东和师生每小时各行多少千米？（适于五年级程度）
解：根据“追及距离÷追及时间=速度差”，可求出王东骑自行车和师生步行的速度差是10.5÷1.5=7（千米/小时）。已知骑自行车的速度是步行速度的2.4倍，可把步行速度看作是1份数，骑自行车的速度就是2.4份数，比步行速度多2.4-1=1.4（份）。以速度差除以份数差，便可求出1份数。
10.5÷1.5÷（2.4-1）
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=7÷1.4
=5（千米/小时）…………………………步行的速度
5×2.4=12（千米/小时）………………………………骑自行车的速度
答略。
（三）以份数法解变倍应用题
已知两个数量原来的倍数关系和两个数量变化后的倍数关系，求这两个数量的应用题叫做变倍应用题。
变倍应用题是小学数学应用题中的难点。解答这类题的关键是要找出倍数的变化及相应数量的变化，从而计算出“ 1”份（倍）数是多少。
*例1大、小两辆卡车同时载货从甲站出发，大卡车载货的重量是小卡车的3倍。两车行至乙站时，大卡车增加了1400千克货物，小卡车增加了1300千克货物，这时，大卡车的载货量变成小卡车的2倍。求两车出发时各载货物多少千克？（适于五年级程度）
解：出发时，大卡车载货量是小卡车的3倍；到乙站时，小卡车增加了1300千克货物，要保持大卡车的载货重量仍然是小卡车的3倍，大卡车就应增加1300×3千克。
把小卡车增加1300千克货物后的重量看作1份数，大卡车增加1300×3千克货物后的重量就是3份数。而大卡车增加了1400千克货物后的载货量是2份数，这说明3份数与2份数之间相差（1300×3-1400）千克，这是1份数，即小卡车增加1300千克货物后的载货量。
1300×3-1400
=3900-1400 =2500（千克）
出发时，小卡车的载货量是：
2500-1300=1200（千克）
出发时，大卡车的载货量是：
1200×3=3600（千克）
答略。
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*例2甲、乙两个班组织体育活动，选出15名女生参加跳绳比赛，男生人数是剩下女生人数的2倍；又选出45名男生参加长跑比赛，最后剩下的女生人数是剩下男生人数的5倍。这两个班原有女生多少人？（适于五年级程度） 解：把最后剩下的男生人数看作1份数，根据“最后剩下的女生人数是男生人数的5倍”可知，剩下的女生人数为5份数。
根据45名男生未参加长跑比赛前“男生人数是剩下女生人数的2倍”，而最后剩下的女生人数是5份数，可以算出参加长跑前男生人数的份数：
5×2=10（份）
因为最后剩下的男生人数是1份数，所以参加长跑的45名男生是：
10-1=9（份）
每1份的人数是：
45÷9=5（人）
因为最后剩下的女生人数是5份数，所以最后剩下的女生人数是： 5×5=25（人） 原有女生的人数是：
25+15=40（人）
综合算式：
45÷（5×2-1）×5+15
=45÷9×5+15 =25+15 =40（人） 答略。
（四）以份数法解按比例分配的应用题
把一个数量按一定的比例分成几个部分数量的应用题，叫做按比例分配的应用题。
小学数学奥数方法讲义40讲（二）
