2020
2.5 随机变量的均值和方差
第1课时 离散型随机变量的均值
设有12个西瓜，其中4个重5 kg，3个重6 kg，5个重7 kg.
问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X的取值是多少？ 提示：x＝5，6，7.
问题2：x取上述值时，对应的概率分别是多少？ 115提示：，，.
3412
问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？ 115
提示：5×＋6×＋7×.
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1．离散型随机变量的均值(或数学期望)
(1)定义：若离散型随机变量X的概率分布为 x2 … xn p2 … pn 则称x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，也称为X的概率分布的均值，记为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn．其中，xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1．
(2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度． 2．两种常见概率分布的均值
(1)超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝． (2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np．
1．随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称随机变量的平均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．
2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定性，即由独立观测组成的随机样本的均值的稳定值．而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值．
X P x1 p1 nMN
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[例1] 已知甲
盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
(1)求取出的4个球均为黑球的概率；
(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
(3)设X为取出的4个球中红球的个数，求X的概率分布和均值．
[思路点拨] 首先确定X的取值及其对应的概率，然后确定随机变量的概率分布及均值． [精解详析] (1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.
C31
由于事件A，B相互独立，且P(A)＝2＝，
C42C42P(B)＝2＝. C65
故取出的4个球均为黑球的概率为
1225
15
2
2
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C， “从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D. C3C2·C44
由于事件C，D互斥，且P(C)＝2·2＝，
C4C615C3C41
P(D)＝2·2＝.
C4C65
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为
41155
715
1
2
2
1
1
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝. (3)X可能的取值为0，1，2，3.
17
由(1)，(2)得P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
515C311
P(X＝3)＝2·2＝. C4C630
3
从而P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝. 10所以X的概率分布为
1
X P
0 1 51 7 152 3 103 1 30 2020
故X的均值
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
[一点通] 求离散型随机变量X的均值的步骤： (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的概率分布表(有时可以省略)；
(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．
1．(广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为
1571531017306
X P
则X的均值E(X)＝________． 3313
解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
5101023
答案：
2
1 3 52 3 103 1 1024
2．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该
35题的人数为X, 求E(X)．
解：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，X可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝P(A B)＝P(A)·P(B)
?2??4?1＝?1－?×?1－?＝， ?3??5?15
P(X＝1)＝P(AB)＋P(AB) ＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
2?4??2?42＝×?1－?＋?1－?×＝， 3?5??3?55
P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
所以，X的分布列如下表：
2483515
X P 12822
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
1551515
0 1 151 2 52 8 15 [例2] 甲、乙两
12
人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中
23目标的次数为Y.
(1)求X的概率分布；
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(2)求X和Y的均值．
[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．
?1?1
[精解详析] (1)P(X＝0)＝C??＝；
?2?8
03
3
?1?3
P(X＝1)＝C??＝；
?2?8
13
3
?1?3
P(X＝2)＝C??＝；
?2?8
23
3
?1?1
P(X＝3)＝C??＝.
?2?8
33
3
所以X的概率分布如下表：
X P
0 1 81 3 82 3 83 1 81331
(2)由(1)知E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5，
8888
?1??2?或由题意X～B?3，?，Y～B?3，?，
?2??3?
12
所以E(X)＝3×＝1.5，E(Y)＝3×＝2.
23
[一点通] 超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的概率分布，解题时如果能发现是这两
种分布模型，就可以直接利用规律写出概率分布，求出均值．
3．某运动员投篮命中率为p＝0.6. (1)求一次投篮时命中次数X的均值；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．
解：(1)投篮一次，命中次数X的概率分布如下表： X P 0 0.4 1 0.6 则E(X)＝p＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)． 则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
4．一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球．现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的．
(1)求至少摸出一个白球的概率；
(2)用X表示摸出的黑球数，写出X的概率分布并求X的均值．
解：记“至少摸出一个白球”为事件A，则事件A的对立事件A为“摸出的3个球中没有白球”，
C41
则P(A)＝3＝，
C65
3
P(A)＝1－P(A)＝，
45
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4
即至少摸出一个白球的概率等于.
5(2)X的所有可能取值为0，1，2，3. C31C3·C39
P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝3＝，
C620C620C3·C39C31
P(X＝2)＝3＝，P(X＝3)＝3＝.
C620C620
2
1
3
3
1
2
X的概率分布为
X P
199133
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，即X的数学期望为.
2020202022
0 1 201 9 202 9 203 1 20 [例3] 甲、乙、
丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各1
局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
2
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的均值．
[思路点拨] (1)第4局甲当裁判的前提是第2局甲胜，第3局甲参加比赛且负． (2)X的取值为0，1，2.
[精解详析] (1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”， A表示事件“第4局甲当裁判”． 则A＝A1·A2.
P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)X的可能取值为0，1，2.
记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．
11－－
则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，P(X＝2)＝P(B1·B3)＝P(B1)P(B3)＝，
84
1
4
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝， E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.
[一点通] 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．
5．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内E发生的概率为p，为使公司收益的均值等于a的10%，公司应要求投保人交多少保险金？
解：设保险公司要求投保人交x元保险金，以保险公司的收益额X作为随机变量，则不难得出其概率分布表如下：
98
118458
X
x x－a
2020高中数学 第2章 概率 2.5 随机变量的均值和方差教学案 苏教版选修2-3
