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概率论与数理统计习题二答案
1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3
只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律. 【解】X的可能取值为3,4,5,其取不同值的概率为
C2134P?X?3??3?0.1,P?X?4??3?0.3,P?X?5??3?0.6
C5C5C5故所求分布律为
X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6
2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求: (1) X的分布律;(2) X的分布函数并作图; (3)P{X?},P{1?X?},P{1?X?},P{1?X?2}. 【解】X的可能取值为0,1,2,其取不同值的概率为
123232321C13C1C2221212C132C13P?X?0??3?,P?X?1??3?,P?X?2??3?.
C1535C1535C1535故X的分布律为 X P
0 1 2 22 3512 351 35(2) 当x?0时,F(x)?P?X?x??0
当0?x?1时,F(x)?P?X?x??P?X?0??22 3534 35当1?x?2时,F(x)?P?X?x??P?X?0??P?X?1??当x?2时,F(x)?P?X?x??P?X?0??P?X?1??P?X?2??1 故X的分布函数
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x?0?0,?22?,0?x?1?35F(x)??
?34,1?x?2?35?1,x?2?(3)
1122P(X?)?F()?,2235333434P(1?X?)?F()?F(1)???0223535
3312P(1?X?)?P(X?1)?P(1?X?)?2235341P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?2)?1???0.35353.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.
【解】设X表示3次射击中击中目标的次数.则X的可能取值为0,1,2,3,显然
X~b(3,0.8)其取不同值的概率为
2P?X?0??(0.2)3?0.008, P?X?1??C130.8(0.2)?0.096P?X?2??C(0.8)0.2?0.384, P?X?3??(0.8)?0.5122323
故X的分布律为 0 X 1 0.096 2 0.384 3 0.512 P X分布函数
0.008 x?0?0,?0.008,0?x?1??F(x)??0.104,1?x?2
?0.488,2?x?3?x?3??1,3次射击中至少击中2次的概率为
P?X?2??P?X?2??P?X?3??0.896
4.(1) 设随机变量X的分布律为
P?x?k??a?kk!,
其中k=0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a.
(2) 设随机变量X的分布律为
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P?x?k??试确定常数a. 【解】(1) 由分布律的性质知
a, k=1,2,…,N, N1??P?X?k??a?k?0k?0???kk!???ae?
故 a?e (2) 由分布律的性质知
1??P?X?k???k?1k?1NNa?a N即 a?1.
5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1) 两人投中次数相等的概率;(2) 甲比乙投中次数多的概率. 【解】设X、Y分别表示甲、乙投中次数,则X~b(3,0.6),Y~b(3,0.7)
(1) P?X?Y??P?X?0,Y?0??P?X?1,Y?1??P?X?2,Y?2??P?X?3,Y?3?
212222233?(0.4)3(0.3)3?C130.6(0.4)C30.7(0.3)+C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3?(0.6)(0.7)
?0.32076
(2) P?X?Y??P?X?1,Y?0??P?X?2,Y?0??P?X?3,Y?0? ?P?X?2,Y?1??P?X?3,Y?1??P?X?3,Y?2?
23223332212?C130.6(0.4)(0.3)?C3(0.6)0.4(0.3)?(0.6)(0.3)?C3(0.6)0.4C30.7(0.3) 2322?(0.6)3C130.7(0.3)?(0.6)C3(0.7)0.3=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,0.02),设机场需配备N条跑
道,根据题意有
P?X?N??0.01
即 利用泊松定理近似计算
k?N?1?200k200?kCk(0.02)(0.98)?0.01 200??np?200?0.02?4.
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?e?44ke?44kP?X?N??????0.01
k?N?1k!k?N?1k!200查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?
【解】设X表示出事故的次数,则X~b(1000,0.0001)
P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)
?1?e?0.1?0.1?e?0.1
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p,则
4223C15p(1?p)?C5p(1?p)
故 p?
1
3
4所以 P(X?4)?C5()14210. ?332439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】设B表示指示灯发出信号
(1) 设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~B(5,0.3) 。 所求概率为
kP(B)?P(X?3)??C5(0.3)k(0.7)5?k?0.16308
k?35(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Y~B(7,0.3),所求概率为
kP(B)?P(Y?3)??C7(0.3)k(0.7)7?k?0.35293
k?3710.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为
而与时间间隔起点无关(时间以小时计).
(1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;
(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】??t的泊松分布,2t 2
?1.5ke?1.53,k?0,1,2,(1)???1.5 P?X?k???k!2k?0 范文范例学习参考
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从而 P(X?0)?e?32?0.2231
?2.5ke?2.55,k?0,1,2,(2) ???2.5 P?X?k???k!2k?0P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?2.5?0.918
kk2?k11.设 P{X=k}=C2p(1?p), k=0,1,2
m4?mp(1?p)P{Y=m}=Cm, m=0,1,2,3,4 4分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知P{X≥1}=【解】因为P(X?1)?5,试求P{Y≥1}. 954,所以 P(X?1)?. 99412即 P(X?0)?(1?p)? ,可得 p?.
39从而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)?465?0.80247 8112.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书
中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数,则X~b(2000,0.001).利用泊松定理近似计算,
??np?2000?0.001?2
P?X?5??C52000(0.001)(0.999)54995e?225??0.0018
5!31,失败的概率为.以X表示试验首次成功所需44试验的次数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率。
13.进行某种试验,成功的概率为【解】X的可能取值为 1,2,3,,X的分布律为
13P?X?k??()k?1,k?1,2,3,44
X取偶数的概率为
p?P?X?2??P?X?4??13133?()?4444?P?X?2k??
?13?()2k?1?441314?? 41?(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡
的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求:
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