上式两边展开并化简得：
x2?y2?z2??xy?yz?zx??x2y2?y2z2?z2x2??x2yz?xy2z?xyz2? …
2…6'
配方得：?x?y?22??y?z???z?x???xy?xz???yz?xy???yz?zx?22222
……9'
即?1?z??x?y???1?x??y?z???1?y??z?x??0???……12' Q0?x,y,z?1,?1?x?0,1?y?0,1?z?0,显然成????立. ……15'
12.解：因任何正整数n可以表为n?2t形式，其中??N，t为正奇数，于是集合A可划分为以下1008个子集：
A??mm?2(2j?1),??N,1?m?2016?，j?1,2,L,1008……4' 对于集合A的任一个1008元子集X，只要集X中含有某一个A中的至少两个元素x,y,(x?y)，因x?2(2j?1),y?2(2j?1)，k?k，则xy；此时X为好集； 以下证明正整数a的最大值为671： ……8' 若a?671时，对于A的任一个1008元子集X，如果X中含有某个A中的至少两个元素，则X便是好集；如果?A?中的1008个集合，每个集合中恰有一个元素在X中，那么A也有一个元素在X中，但A??2013?为单元素集，于是2013?X，而a2013，(2013?671?3?3a)，这说明X仍是好集，因此a?671合
?x2?y?z??y2?z?x??z2?x?y?2222222222??jjk1k212jj10071007 11
于要求． ……12'
下面说明当a?672时，存在含a的集X不是好集；分两种情况：
(1)、若a?1009，取1008元集X??1009,1010,L,2016?，则a?X，
因X中任两个不同元素x?y，均有x?y，故X不为好集，这种a不合要求．……15'
(2)、若672?a?1008，记X??672?jj?0,1,L,336?， X?X\\?2(672?j)j?0,1,L,336?，令X?XUX，则X?1008，且a?X，
若X中存在x?y,xy，因x?672，y?2016，则y?3x；
若x?672，如果xy,x?y，只有y?2x或者y?3x，此时y的取值只能是：y?2?672?1344，或者
y?3?672?2016；1344?2(672?0),2016?2(672?336)，这说明，这两个数已被挖去，不在集合X中； ……18'
若x?672，假若xy，只有y?2x，这种数y也已悉数被挖去，即y?X，因此X不是好集，这种a也不合要求．
综上所述，a的最大值为671． ……20'
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2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
