1.答案：?16?a?16．
解：由值域y?R，?x?ax?65?1，?x?ax?64?0 ???a?4?64?0，??16?a?16.
2.答案：233．解：如图，据题意得，
?222A，
于是BC?CA?AB?22，CD?AC?AD?2， D因BC?BD?CD，得BD?CD，从而以D 为顶点的三面角是三直三面角，
34??AB四面体体积V?1AD?S?，而S433AB?AD2?BD2?2222222CB2?BCD?ABC?23?， ，由
h?S若设D到面ABC的距离为h，则V?13234h?33?ABC23h3，得到h?233．
?y?x????1??x?y????x?y??????223.答案：2． 解：由
，得yx??2Px?yx?yDOY， C当x?y时取等号． AB4.答案：8．
解：如图建立直角坐标系，设圆方程为x?y?r， 则正方形顶点坐标为A(?r,?r),B(r,?r),C(r,r),D(?r,r)， 若点P的坐标为P(rcos?,rsin?)，于是直线PA,PB,PC,PD的斜率分别为 1?sin?1?sin?1?sin?1?sin?，， k?,k??k?,k??1?cos?1?cos?1?cos?1?cos?222XPAPBPCPD 6
所以
?k?kPA?2tan2???PC??4(cos??sin?)?1?kPAkPC?22，
2?k?k?tan2???PDPB??4(cos??sin?)2?1?kPBkPD?，由此立得tan22??tan2??8．
解2：取特例，P在坐标轴上，则???，
2这时，tan??cot??1?2?tan?，?tan??tan??2?2?8
225.答案：134．
解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,L,2016与等差数列5,10,15,L,2015的公共项个数；前者是M??1,2,3,L,2016?中的全体能被3整除的数，后者是M中的全体能被5整除的数，故公共项是M中的全体能被15整除的数，这种数有?2016??15??134个．
??6.答案：493． 解
：
由
3y?2sin2xcosxy2?4sin4xcos2x?2(1?cos2x)(1?cos2x)?2cos2x3
17，
9得
?(1?cos2x)?(1?cos2x)?2cos2x??2?16?2???2????3?3?27??， 826435所以y?493．当cos2x?13时取得等号．
7.如右图 8.答案：15．
例如，排出的一个数列为 (8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．
解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁
7
琐，故适宜作为填空题直接操作．
记这n个连续正整数的集合为M??1,2,L,n?，由于n?1，
则M中必有2，而2?7?9，所以n?7，当n?7时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段：
但它们不能连接成一个7项的数列，(1,3,6),(2,7),(4,5)，
故应增加后续的数，增加8可使得第一段扩充成
增加9可使得第二段扩充成(2,7,9)，但新的(8,1,3,6)，
三段也不能连接，还需增加新数，即n?10，而之前的数若与8,9,10邻接，只有8?1?9,9?7?16,10?6?16，这三段扩充为
(8,1,3,6,10)，(2,7,9)，(4,5)，仍旧不能连接，应当借助新的平方数25，从1到10这10个数能搭配成和为25的最小数是15，则n?15，而当M??1,2,L,15?时，可排出上面的情形：
(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．
9.证1：椭圆方程为x?acos?,y?bsin?，
点A,N的坐标为A(?a,0),N(acos?,bsin?)，则直线AN方程?x??a?tcos?为?y?tsin?， ……3'
?代入椭圆方程得到(bcos??asin?)t?2abtcos??0，
2abcos?a?AN?t?AM?(??)，……6' ，bcos??asin?cos?222222222222因此
2a2b2AM?AN?2bcos2??a2sin2?，……9'
8
又据AN∥CD，则点C,D坐标为：C(?ODcos?,?ODsin?)，D(ODcos?,ODsin?)，……12'
ab因为C,D在椭圆上，则CO?bcos?，而，?asin?22222222a2b2CO?CD?2CO?2bcos2??a2sin2?2，因此AM?AN?CO?CD．……14'
证2：
易知CD的斜率k存在，不妨令CD:y?kx，与椭圆方程联系，
???abkababkab解得C??,、D,???? ……3'
?b2?a2k22222b2?a2k2?2222?b?akb2?a2k2??CO??1?k?abb?ak22,CD?4?1?k2?a2b2b?ak22, ?CO?CD?2?1?k2?a2b2b2?a2k2…
6'
方程为： y?k?x?a?,?M?0,ka?.
将AN方程与椭圆方程联立，得?b?ak?x?2akx?ka?ab?0
2akab?ak?x?x??,?x? ……9' b?akb?akAN222232222222332AN222N2222kab22yN?2,?AM?a1?kb?a2k22 ……12'
，
?ab2?a3k2?4k2a2b42ab21?k2AN??2?a???2222222b?akb?a2k2???b?ak??AM?AN?2a2b2?1?k2?b?ak222?CO?CD …14'
10.证：1、延长DC到M，延长AC到N,连CE，QD为
旁心，?CD平分?BCN…2'
又A、E关于DC对称，?CM平分
9
,
??BCN??ACE,?B、C、E三点共线。……5' 2、过C作CI//AE交AD于I，则IC?DC ……7' ?I为VABC内心。连BI,则BI平分?ABC,……10' ??IBD?90,?B、D、C、I四点共圆，……12' ??CBD??CID??EAD,
?A、B、D、E四点共圆。……15' 11.证：据条件，即要证 xyz(x+y+z-xyz)?(1?x)(1?y)(1-z) ①
也即xyz(x+y+z)?1-(x?y?z)?(xy?yz?xz) ② ……3'
将此式各项齐次化，因为
1?(xy?yz?xz)?xy?yz?xz?2xyz(x?y?z) 6'
?ACE??DCN??ACM??BCD??MCE?2222222222222222222x2?y2?z2?(x2?y2?z2)(xy?yz?xz)?x3(y?z)?y3(x?z)?z3(x?y)?xyz(x?y?z)代入②，
只要证xyz(x?y?z)?
即
x(y?z)?y(x?z)?z(x?y)?2(xy?yz?xz)?0……12' 也即xy(x?y)?yz(y?z)?xz(x?z)?0。 此为显然，故命题得证．…15' 证2：由题设得：
y?x?z??1?zx,x?y?z??1?yz,z?x?y??1?xy，
三式相乘，故原不等式等价于证明： ?1?zx??1?yz??1?xy???1?x??1?y??1?z?……3'
2(x2y2?y2z2?x2z2)?x3(y?z)?y3(x?z)?z3(x?y)?xyz(x?y?z)333222222222222 10
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
