同济大学高等数学第十一章曲线积分与曲面积分

第十一章 曲线积分与曲面积分

第1节 曲线积分

以前讨论的定积分研究的是定义在直线段上的函数的定积分.本节将研究定义在平面或空间曲线段上函数的积分.

1.1 第一型积分的概念与性质

在设计曲线形细长构件时，通常需要计算它们的质量, 而构件的线密度(单位长度的质量)却是因点而异的. 工程技术人员常常用这样的方法计算一个构件的质量： 设构件为平面xOy平面内一条有质量的曲线 L， L上任一点f(x,y)处的线密度为?(x,y)，这样就可以把实际问题定量化(如图11-1)：

将曲线L分成n小段曲线Li(i?1,2,Ln)?

?si表示曲线段Li长度?

任取(?i ? ?i)? Li? 得第i小段质量的近 似值?(?i,?i)?si?

图11-1

整个曲线构件的质量近似的等于??(?i,?i)?si?

i?1n当把L分割的越来越细(即?@max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0), 则整个曲线构件的质量为 lim??(?i,?i)?si.

??0i?1n这种和的极限在研究其它问题时也会遇到，因此给出下面概念.

定义1 设L为xOy面内的一条光滑曲线段? 函数f(x,y)在L上有界.在L上任意插入一点列P1? P2? ? ? ?? Pn?1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为?si? (?i,?i) 为第

i个小段上任意取定的一点? 作乘积 f(?i,?i)?si (i?1? 2?? ? ?? n )? 并作和?f(?i,?i)?si? 如

i?1n果各小弧段长度的最大值 ??0? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分或对弧长的曲线积分? 记作

n?Lf(x,y)ds? 即

?Lf(x,y)ds?lim?f(?i,?i)?si. （11-1-1）

??0i?1其中，f(x,y)叫做被积函数, L 叫做积分路径 , ds弧长微元.

特别地，如果L是闭曲线? 那么函数f(x,y)在闭曲线L上第一型曲线积分记作

??f(x,y)ds.

L若L为空间上的光滑曲线段，f(x,y,z)为定义在L上的函数，则可类似的定义

f(x,y,z) 在空间曲线L上第一型曲线积分，记作

?Lf(x,y,z)ds.

这样，本节开始所求的曲线形构件的质量可表示为

M???(x,y)ds.

L类似于函数的定积分，并不是所有的f(x,y)在曲线L上都是可积的. 然而，当函数

f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时? 第一型曲线积分?f(x,y)ds都是存在的. 因此，下文

L中我们总假定f(x,y)在L上是连续的.

关于第一型曲线积分也和定积分一样具有下述重要性质. 性质1(线性性) 设?、?为任意常数? 则

?[?f(x,y)??g(x,y)]ds???LLf(x,y)ds???g(x,y)ds?

L性质2(路径可加性) 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2? 则

?Lf(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds.

L1L21.2 第一型曲线积分的计算方法

定理1 设f(x,y)在曲线段L上连续? L的参数方程为

x??(t)? y??(t) ( ? ?t ? ? )?

其中?(t)、?(t) 在[?? ?]上具有一阶连续导数? 且??2(t)???2(t)?0? 则曲线积分在? 且

?Lf(x,y)ds存

? 证明 设 I?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt.

?????f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt. 如图11-1，在L上顺次插入

Pi(?(ti),?(ti))(i?1,2Ln?1)，P0?A?(?(?),?(?))，Pn?B?(?(?),?(?))，其中

??t0?t1?L?tn?1?tn??. 设?si为弧段Pi-1Pi的长度，则

?si??令

titi?1??2(t)???2(t)dt.

???f(?(?i),?(?i))?si，

i?1n其中(?(?i),?(?i))为弧段Pi-1Pi上任意一点. 那么

??I??f(?(?i),?(?i))?si??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dti?1n?????i?1nti

ti?1?f(?(?i),?(?i))?f(?(t),?(t))???2(t)???2(t)dt.设L的弧长为s. f(?(t),?(t))为[?,?]上的连续函数，因此一致连续. 所以对任意给定正数?，存在?，当ti?ti?1??时，有

|f(?(?i),?(?i))?f(?(t),?(t))|? 因此

?s. (?i,t?[ti?1,ti]）,

|??I|???|f(?(?i),?(?i))?f(?(t),?(t))|??2(t)???2(t)dti?1ti?1nti??s?????2(t)???2(t)dt?.s??s?

又ti?ti?1?0(i?1,2Ln)等价于?@max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0. 从而

?Lf(x,y)ds?lim?=?f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt.

??0??特别地，如果平面光滑曲线L的方程为 y??(x) (a?x?b) 则

?Lf(x,y)ds??f(x,?(x))1???2(x)dx

ab如果平面光滑曲线L的方程为

x??(y) ( c?x?d)

则