∴＝， ， ，
．
∴＝∴BE＝
∴⊙O半径＝
2．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．
∴∠CEF∠CEF∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD，
∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2根据勾股定理可得：
，
，
解得或（舍弃），
∴BF＝4，AB＝2BF＝8．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
∵OB⊥OC，
∴∠A＝∠BOC＝45°， ∵AH⊥CH，
∴△ACH是等腰直角三角形， ∵AC＝
CH，
∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD，
∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°， ∴四边形EFHC是矩形， ∴CH＝EF，
在Rt△OEC中，∵EC＝
，OC＝＝2
，
，
OE＝＝
∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°， ∴∠FOB＝∠ECO， ∵OB＝OC，
∴△OFB≌△CEO（AAS）， ∴OF＝EC＝∴CH＝EF＝3∴AC＝
， ， ．
EF＝6
3．解：（1）①PA+PB＝PC，理由如下： ∵线段PC经过点O， ∴PC是⊙O的直径， ∴∠PAC＝∠PBC＝90°，
∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴∠ACP＝∠BCP＝30°， ∴PA＝PC，PB＝PC， ∴PA+PB＝PC；
②PA+PB＝PC，理由如下：
在PC上截取PD＝PA，连接AD，如图2所示： ∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴∠APD＝∠ABC＝60°， ∵PD＝PA，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠PAD＝60°＝∠BAC， ∴∠DAC＝∠PAB， 在△ACD和△ABP中，∴△ACD≌△ABP（SAS）， ∴DC＝PB，
∴PA+PB＝PD+DC＝PC；
（2）在AC上截取ED＝AE．连接PD并延长交圆O于G．连接CG，如图3所示： ∵PE⊥AC，DE＝AE， ∴PA＝PD，
∴∠PAD＝∠PDA＝∠CDG． ∵∠PAD＝∠G． ∴∠CDG＝∠G， ∴CG＝CD， 又∵PA平分∠FAC，
∴∠BAC＝180°﹣2∠PAD＝180°﹣（∠PAD+∠PDA）＝∠APG． ∴
，
∴，
∴AB＝CG．
∴AC﹣AB＝AC﹣CD＝AD＝2AE，即2AE＝AC﹣AB＝7﹣4＝3， ∴AE＝．
4．（1）①证明：如图1中，
∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∴∠A+2∠ABD＝90°， ∴△ABD为“类直角三角形”．
②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．
在Rt△ABC中，∵AB＝5，BC＝3， ∴AC＝
＝
＝4，
∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°， ∴∠ABE+2∠A＝90°， ∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90° ∴∠A＝∠CBE， ∴△ABC∽△BEC， ∴
＝
， ＝，
∴CE＝
（2）∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AD＝6，AB＝10， ∴BD＝
＝
＝8，
①如图2中，当∠ABC+2∠C＝90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF＝∠DOA，
∵∠DBF+∠DAF＝180°，且∠CAD＝∠AOD， ∴∠CAD+∠DAF＝180°， ∴C，A，F共线，
∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90° ∴∠C＝∠ABF， ∴△FAB∽△FBC，
2020年中考数学一轮复习培优训练：《圆》
