兰州大学大气科学学院 大气科学/应用气象 专业（班） 年级 课程 数值天气预报 200 —200 学年 第 2 学期（ A ）卷 期末考试题（ 120 分钟） 考试时间 姓 名 学 号 题 号 分 数 得 分 主考教师： 隆霄 阅卷教师： 1．对线性平流方程： ?u?u?a?0?t?x Crank-Nicolson的差分格式为： ?1un?unjjn?1n?1nnauj?1?uj?1uj?1?uj?1?(?)?022?x2?x ?t分析其稳定性条件和截断误差。(20分) 解:令??a?t?1nn?1n?1nn,则差分格式可以展开为: un?u??(u?u?u?ujjj?1j?1j?1j?1) 4?xIkxi利用冯-纽曼方法,设unj?Ge,I??1,代入上式,化简可以得到增幅因子表达式为: G?1?2?Isink?x 1?2?Isink?x1?2?Isink?x|?1 1?2?Isink?x由于 |G|?|所以格式绝对稳定. 利用泰勒展开可以得到: un?1j?u??unj?tnj?unj?t?t??2unj?t2?(?t)2/(2!)?....... 所以??1un?unjj?2unj?t2?t?t/(2!)?.......,时间截断误差为O(?t) 2n?1n?1n?1n?1类似的方法把uj?1,uj?1,uj?1,uj?1在空间域展开,可以得到截断误差为O(?x) 2．对线性平流方程： ?u?u?u?c?d?0?t?x?y 其中c=2.5, d=0.2, ?x??y?0.1,?t?0.004
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初始条件为：ui0,j?1.5?sin(2?i?x)?sin(2?j?y) 请写出时间中央差、空间中央差分的差分格式，并用Fortran语言写出计算程序。 （启动时步采用时间前差格式，东西向边界取周期条件，南北向边界取固定边界条件）。 要求:程序中要有明确的变量说明，所写程序符合Fortran语言基本标准。(20分) 答：微分方程的差分格式为:1n?1uin,?j?ui,j2?tui1,j?ui0,j2?t?cuin?1,j?uin?1,j2?xui0?1,j?ui0?1,j2?x?duin,j?1?uin,j?12?xui0,j?1?ui0,j?12?x?0 ?0 启动时刻的差分格式为: 程序略. ?c?d3．试分析如下差分形式的地转适应方程的解的频散性质。（20分） xx?u1?fv?gzx?0 其中?x?(?i?1??i?1) ?t2?x?v ?fu?0 ?tx?z ?Hux?0 ?t 解：设方程有如下形式的波动解 u?ueI(kid??t) v?veI(kid??t) z?zeI(kid??t) 将此解代入差分方程组，并进行消元得 ^^^?I?u?fv?gzIsinkd/d?0 ?I?v?fu?0 ?I?z?HuIsinkd/d?0 进行消元得频率方程 ()2?1??2sin2kd/2d2 f相应的群速度公式为 ?f2?2sin2kdcg? ?2d由此可知当kd=π/2时，群速度为0，波能量不能频散。当kd=π时，重力惯性波变为纯惯性振荡。
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4．已知P坐标系中的连续方程为：(坐标系中的连续方程。(20分) P?PtP?Pt?u?v?????)p?0，其中??，请推导出?Ps?Pt??x?y?p解：对任意变量F(x,y,p,t)?F[x,y,?(x,y,p,t),t]有： ?F?F?F??)P?()??()p (1) ?s?s???s其中s表示x，y，或者t ( 又 (?(p?pt)p?pt????1????????? (2) )p?[]p?(p?pt)()????21?s??(p?pt)?s?s??s??()?s?把（2）代入（1）则有：(?F?F????F （3） )P?()???s?s??s???u?v????)p?0展开有： ?x?y?p利用（3）把P坐标系中的连续方程((?V?u?v????)?????h??0 （4） ?x?y????pdpd(???pt)????????? （5） dtdt??1??1?1???????[?????]?[?(?Vh???)???] （6） ?p????????t又??所以：把（6）代入（4），整理后则有： ??????????(?Vh)??0 （7） ?t??（7）即是?坐标系中的连续方程。 5．原始方程模式与过滤模式有哪些不同之处？(10分) 答: (1)原始方程模式可以描写风场和质量场之间的适应过程，这一过程是通过惯性重力波对能量的频散实现的；在过滤模式中，也会产生不适应，一旦出现则通过地转近似或者其他风压场的诊断关系加以调整，这种调整不是通过大气中的物理过程来实现的，而是强加的，这是两者最本质的区别。 (2)过滤模式受到的限制较多，引入了静力近似，还引入了其他的地转近似或者无辐散近似，而原始方程模式采用的近似条件较少，因而精度高，适用性强。 (3) 原始方程模式可以描述天气发展的快过程，也可以描述天气发展的慢过程，而过滤模式只能描 3
述天气发展的慢过程。 (4) 原始方程模式，不论是正压得还是斜压的，在不考虑地形和摩擦作用的情况下，大气总的绝对角动量守恒，但过滤模式只有个别情形可以保证大气总的绝对角动量守恒。 (5)原始方程模式对初值和计算稳定性非常敏感，对于一定的网格，在保证计算稳定的条件下，其所取的时间步长约比过滤模式小一个量级。 6．什么是非线性计算不稳定和混淆误差?非线性计算不稳定有何特点?你知道有那些方法 可以克服非线性不稳定? (10分) 答:非线性计算不稳定是指由于非线性作用产生的不稳定现象. 混淆误差是指: 用有限网格上的函数值只能分解有限的波数,其最短波长为2?x,如果非线性作用产生波长小于2?x的分量,则网格系统不能正确的分辨,而把它错误的表示成某一种波长大于2?x的波,造成了这种波的误差,这样产生的误差就是混淆误差. 非线性不稳定具有突变的特点,同时它的产生不仅和差分方案有关,也和初值有关. 克服的办法: (1) 进行空间和时间平滑,滤去短波分量 (2) 在方程中加入人工扩散项 (3) 构造具有隐式平滑或者某种选择性衰减作用的差分格式 (4)构造守恒的差分格式. 4
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(完整版)数值天气预报考试题答案
