2011年全国高中数学联赛试题及答案 - 图文 

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华东师范大学出版社

i?m?1?ani?Sn?Sm?0(mod10)，

即第1行的第m?1至第n列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾．

又假如存在m,n,0?m?n?9，使Tm?Tn(mod10)，则

i?m?1n?(bi?ci)?Tn?Tm?0(mod10)，

即第2行至第3行、第m?1列至第n列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．

类似地，也不存在m,n,0?m?n?9，使

Sm?Tm?Sn?Tn(mod10)．

因此上述断言得证．故

?Sk?09k??T??(Skk?0k?099k?Tk)?0?1?2???9?5(mod10)，

所以

?(Sk?09k?Tk)??S??Tkk?0k?099k?5?5?0(mod10)，

矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．

另一方面，构造如下一个3?9的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．

综上所述，“坏格”个数的最大值是25．

1 1 1 10 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1