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华东师范大学出版社
2011年全国高中数学联赛
一 试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1．设集合A?{a1,a2,a3,a4}，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B?{?1,3,5,8}，则集合A? ．
x2?12．函数f(x)?的值域为 ．
x?1113．设a,b为正实数，??22，(a?b)2?4(ab)3，则logab? ．
ab4．如果cos5??sin5??7(sin3??cos3?)，??[0,2?)，那么?的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）
6．在四面体ABCD中，已知?ADB??BDC??CDA?60?，AD?BD?3，CD?2，则四面体ABCD的外接球的半径为 ．
7．直线x?2y?1?0与抛物线y2?4x交于A,B两点，C为抛物线上的一点，?ACB?90?，则点C的坐标为 ．
?368．已知an?Cn200??200?n?1??(n?1,2,?,95)，??则数列{an}中整数项的个数为 ． ???2?n二、解答题（本大题共3小题，共56分）
9．（16分）设函数f(x)?|lg(x?1)|，实数a,b(a?b)满足f(a)?f(?f(10a?6b?21)?4lg2，求a,b的值．
b?1)，b?210．（20分）已知数列{an}满足：a1?2t?3(t?R且t??1)，
an?1(2tn?1?3)an?2(t?1)tn?1?(n?N*)． nan?2t?1（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若t?0，试比较an?1与an的大小．
1x2y211．（本小题满分20分）作斜率为的直线l与椭圆C：??1交于A,B两点（如
3364图所示），且P(32,2)在直线l的左上方．
（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；
（2）若?APB?60?，求△PAB的面积．
y P O A x B
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解 答
1．{?3,0,2,6}. 提示：显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以
3(a1?a2?a3?a4)?(?1)?3?5?8?15，
故a1?a2?a3?a4?5，于是集合A的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合A?{?3,0,2,6}．
2．(??,?2???](1,??). 提示：设x?tan?,????，且??，则
224211f(x)?cos???tan??1sin??cos?12sin(??)4?．
?12设u?2sin(??)，则?2?u?1，且u?0，所以 f(x)??(??,?]?(1,??)．
4u2
3．-1. 提示：由
11??22，得a?b?22ab．又 ab(a?b)2?4ab?(a?b)2?4ab?4(ab)3?4?2ab?(ab)3?8(ab)2，
即
a?b?22ab． ①
于是
a?b?22ab． ②
再由不等式①中等号成立的条件，得ab?1．与②联立解得?故logab??1．
4．???5??,?. 提示：不等式 ?44?cos5??sin5??7(sin3??cos3?)
??a?2?1,??a?2?1,或?
??b?2?1,b?2?1,??等价于
11sin3??sin5??cos3??cos5?.
77又f(x)?x3?15x是(??,??)上的增函数，所以sin??cos?，故 72k???4???2k??5?(k?Z)． 4因为??[0,2?)，所以?的取值范围是???5??,?． ?44?学奥数，这里总有一本适合你！
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5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有C73?5!?C51?5!?3600种方案；
（2）有两个项目各有2人参加，共有(C72?C52)?5!?C52?5!?11400种方案； 所以满足题设要求的方案数为3600?11400?15000．
6．3. 提示：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上．由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．设P,M分别为AB,CD的中点，则N在DP上，且ON?DP，OM?CD．
因为?CDA??CDB??ADB?60?，设CD与平面ABD所成角为?，可求得
co?s?13,sin??2312．
1223 CD?1,DN??DP???3?3．
233213在△DMN中，DM?由余弦定理得
C M O D
N A P B
MN2?12?(3)2?2?1?3??2，
故MN?2．四边形DMON的外接圆的直径
MN?sin?223?3．
OD?故球O的半径R?3．
7．(1,?2)或(9,?6)．提示： 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(t2,2t)，由?y2?8y?4?0，则y1?y2?8，y1?y2??4．
?x?2y?1?0,得 2y?4x,?又x1?2y1?1,x2?2y2?1，所以
x1?x2?2(y1?y2)?2?18， x1?x2?4y1?y2?2(y1?y2)?1?1． 因为?ACB?90?，所以CA?CB?0，即有
(t2?x1)(t2?x2)?(2t?y1)(2t?y2)?0，
即
t4?(x1?x2)t2?x1?x2?4t2?2(y1?y2)t?y1?y2?0，
即
t4?14t2?16t?3?0，
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即
(t2?4t?3)(t2?4t?1)?0．
显然t2?4t?1?0，否则t2?2?2t?1?0，则点C在直线x?2y?1?0上，从而点C与点A或点B重合．所以t2?4t?3?0，解得t1??1,t2??3．
故所求点C的坐标为(1,?2)或(9,?6)．
8．15. 提示：an?C
n200200?n3400?5n6?3?2．
要使an(1?n?95) 为整数，必有
200?n400?5n均为整数，从而6|n?4． ,36200?n400?5n和均为非负整数，所
63当n?2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，以an为整数，共有14个．
当n?86时，a86?C86?338?2?5，在C86200200?200!中，200!中因数2的个数为
86!?114!?200??200??200??200??200??200??200??2???22???23???24???25???26???27??197， ??????????????同理可计算得86!中因数2的个数为82，114中因数2的!中因数2的个数为110，所以C86200个数为197?82?110?5，故a86是整数．
?336?2?10，在C92当n?92时，a92?C92200200?200!中，同样可求得92!中因数2的个数为
92!?108!88,108中因数2的个数为197?88?105?4，故a92不是整数． !中因数2的个数为105,故C86200因此，整数项的个数为14?1?15．
9．因为f(a)?f(?b?1)，所以 b?2|lg(a?1)|?|lg(?b?11?1)|?|lg()|?|lg(b?2)|， b?2b?2所以a?1?b?2或(a?1)(b?2)?1，又因为a?b，所以a?1?b?2，所以(a?1)(b?2)?1．
又由f(a)?|lg(a?1)|有意义知0?a?1，从而
0?a?1?b?1?b?2，
于是
0?a?1?1?b?2．
所以
(10a?6b?21)?1?10(a?1)?6(b?2)?6(b?2)?10?1． b?2从而
f(10a?6b?21)?|lg[6(b?2)?1010]|?lg[6(b?2)?]． b?2b?2学奥数，这里总有一本适合你！
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又
f(10a?6b?21)?4lg2，
所以
lg[6(b?2)?10]?4lg2， b?2故6(b?2)?101． ?16 ．解得b??或b??1（舍去）
b?2312把b??代入(a?1)(b?2)?1解得a??．
35所以 a??21，b??． 53
10．（1）由原式变形得
an?12(tn?1?1)(an?1)??1，
an?2tn?1则
2(an?1)nan?1?12(an?1)t?1． ??n?1nt?1an?2t?1an?1?2tn?1记又
2bnan?1a1?12t?2，则，b??bb???2． n?1n1bn?2tn?1t?1t?111111??,?，从而有 bn?1bn2b12111n??(n?1)??， bnb122an?122(tn?1)故 n?，于是有 an??1．
t?1nn2(tn?1?1)2(tn?1)（2）an?1?an? ?n?1n??2(t?1)?n(1?t???tn?1?tn)?(n?1)(1?t???tn?1)?
n(n?1)2(t?1)?ntn?(1?t???tn?1)??2(t?1)?(tn?1)?(tn?t)???(tn?tn?1)?
n(n?1)n(n?1)2(t?1)2n?1n?2?(t?t???1)?t(tn?2?tn?3???1)???tn?1?， ?n(n?1)显然在t?0(t?1)时恒有an?1?an?0，故an?1?an．
11．（1）设直线l：y?1x?m，A(x1,y1),B(x2,y2)． 31x2y2将y?x?m代入??1中，化简整理得
33642x2?6mx?9m2?36?0．
2011年全国高中数学联赛试题及答案 - 图文
