知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=． （1）求抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】（1）首先利用对称轴公式求出a的值，然后把点A的坐标与a的值代入抛物线的解析式，求出c的值，即可确定出抛物线的解析式．
（2）首先根据抛物线的解析式确定出点C的坐标，再根据待定系数法，确定出直线AC解析式为y=﹣x+2；然后设点M的坐标为（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），求出MH的值是多少，再根据CM=CH，OC=GE=2，可得MH=2EH，据此求出m的值是多少，再把m的值代入抛物线的解析式，求出y的值，即可确定点M的坐标．
（3）首先判断出△ABC为直角三角形，然后分两种情况：①当
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=时；
②当=时；根据相似三角形的性质，判断出是否存在点P，使得以P、
N、G为顶点的三角形与△ABC相似即可． 【解答】解：（1）∵x=﹣∴a=﹣，
把A（4，0），a=﹣代入y=ax2+x+c， 可得（
）×42+×4+c=0，
=，b=，
解得c=2，
则抛物线解析式为y=﹣x2+x+2．
（2）如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，
，
∵y=﹣x2+x+2， ∴当x=0时，y=2， ∴C点的坐标是（0，2），
设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0）， 把A（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b， 可得解得：
， ，
∴直线AC解析式为y=﹣x+2，
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∵点M在抛物线上，点H在AC上，MG⊥x轴，
∴设点M的坐标为（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2）， ∴MH=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m， ∵CM=CH，OC=GE=2，
∴MH=2EH=2×[2﹣（﹣m+2）]=m， 又∵MH=﹣m2+2m， ∴﹣m2+2m=m， 即m（m﹣2）=0，
解得m=2或m=0（不符合题意，舍去）， ∴m=2， 当m=2时，
y=﹣×22+×2+2=3， ∴点M的坐标为（2，3）．
（3）存在点P，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由为： ∵抛物线与x轴交于A、B两点，A（4，0），A、B两点关于直线x=成轴对称， ∴B（﹣1，0）， ∵AC=∴AC2+BC2=
=2
，BC=+
=
，AB=5，
=25，AB2=52=25，
∵AC2+BC2=AB2=25， ∴△ABC为直角三角形， ∴∠ACB=90°，
线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当NP⊥x轴时，∠NPG=90°， 设P点坐标为（n，0），
则N点坐标为（n，﹣n2+n+2）， ①如图2，
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当=时，
∵∠N1P1G=∠ACB=90°， ∴△N1P1G∽△ACB， ∴
=
，
解得：n1=3，n2=﹣4（不符合题意，舍去）， ∴P的坐标为（3，0）． ②当
=
时，
∵∠N2P2G=∠BCA=90°， ∴△N2P2G∽△BCA， ∴解得：n1=1
，
，n2=1﹣
（不符合题意，舍去），
∴P的坐标为（1+，0）．
，0），使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相
∴存在点P（3，0）或（1似．
【点评】（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力． （2）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．
（3）此题还考查了相似三角形的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，
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要熟练掌握．
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2015年云南省昆明市中考数学试卷附详细答案（原版+解析版）
