关于X和关于Y的边缘分布函数。
pi???pij?P{X?xi}，i?1,2，?
j?1?p?j??pij?P{Y?yi}，j?1,2，?
i?1?分别称pi?p?j为（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律。
fX(x)??f(x,y）dy fY(y)??f(x,y）dx分别称fX(x)，
??????fY(y)为X，Y关于X和关于Y的边缘概率密度。
§3条件分布
定义 设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y?yj}?0, 则称P{X?xiY?yj}?P{X?xi,Y?yj}P{Y?yj}?pijp?j,i?1,2,?为在Y?yj条件下
pijpi?随机变量X的条件分布律，同样P{Y?yjX?Xi}?为在X?xi条件下随机变量X的条件分布律。
P{X?xi,Y?yj}P{X?xi}?,j?1,2,?设二维离散型随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)，（X，Y）关于Y的边缘概率密度为fY(y)，若对于固定的y，fY(y)〉0，则称
f(x,y)为在Y=y的条件下X的条件fY(y)概率密度，记为fXY(xy)=
f(x,y) fY(y)§4相互独立的随机变量
定义 设F（x，y）及FX(x)，FY(y)分别是二维离散型随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y有P{X?x,Y?y}?P{X?x}P{Y?y}，即
F{x,y}?FX(x)FY(y)，则称随机变量X和Y是相互独立的。
对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互独立的充要条件是参数??0
§5两个随机变量的函数的分布
1，Z=X+Y的分布
设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y).则Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为fX?Y(z)?????f(z?y,y）dy或fX?Y(z)??f(x,z?x）dx
??? 6
又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y)则
fX?Y(z)??fX(z?y）f（fX(x）fY(z?x)dx这两个公式称为Yy)dy 和fX?Y(z)????????fX,fY的卷积公式
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 2，Z?Y的分布、Z?XY的分布 XY，Z?XY X设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)，则Z?仍为连续性随机变量其概率密度分别为fYX(z)??xf(x,xz)dx???fXY(z)?????1zf(x,)dx又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别xx为fX(x),fY(y)则可化为fYfX(x)fY(xz)dx X(z)?????fXY(z)?????1zfX(x)fY()dx xx3M?max{X，Y}及N?min{X,Y}的分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y)由于
M?max{X，Y}不大于z等价于X和Y都不大于z故有P{M?z}?P{X?z,Y?z}又
由于X和Y相互独立，得到M?max{X，Y}的分布函数为Fmax(z)?FX(z)FY(z)
N?min{X,Y}的分布函数为Fmin(z)?1??1?FX(z)??1?FY(z)?
第四章 随机变量的数字特征
§1．数学期望
定义 设离散型随机变量X的分布律为P{X?xk}?pk，k=1,2，…若级数
???xk?1kpk绝对
收敛，则称级数
?xk?1kpk的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X)??xkpk
i 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分
????xf(x)dx绝对收敛，则称积分
7
????xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X)??xf(x)dx
????定理 设Y是随机变量X的函数Y=g(X)(g是连续函数)
（i）如果X是离散型随机变量，它的分布律为P{X?xk}?pk，k=1,2，…若
?p?g(x）kk?1?k绝对收敛则有E(Y)?E(g(X))?p?g(x）kk?1k
（ii）如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为f(x)，若有E(Y)?E(g(X))?????g(x)f(x)dx绝对收敛则
????g(x)f(x)dx
数学期望的几个重要性质 1设C是常数，则有E(C)?C
2设X是随机变量，C是常数，则有E(CX)?CE(X) 3设X,Y是两个随机变量，则有E(X?Y)?E(X)?E(Y)； 4设X，Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)?E(X)E(Y)
§2方差
定义 设X是一个随机变量，若E{?X?E(X)?}存在，则称E{?X?E(X)?}为X的方
22差，记为D（x）即D（x）=E{?X?E(X)?}，在应用上还引入量D(x)，记为?(x)，
2称为标准差或均方差。
D(X)?E(X?E(X))2?E(X2)?(EX)2
方差的几个重要性质
1设C是常数，则有D(C)?0,
2设X是随机变量，C是常数，则有D(CX)?CD(X)，D(X?C)?D(X)
3设X,Y是两个随机变量，则有D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}特别，若X,Y相互独立，则有D(X?Y)?D(X)?D(Y)
4D(X)?0的充要条件是X以概率1取常数E(X)，即P{X?E(X)}?1
切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望E(X)??，则对于任意正数?，不等式
22 8
?2P{X-???}?2成立
?§3协方差及相关系数
定义 量E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差为Cov(X,Y)，即
Cov(X,Y)?E[(X?E(X))(Y?E(Y))]?E(XY)?E(X)E(Y)
而?XY?Cov(X，Y）D(X)D(Y)称为随机变量X和Y的相关系数
??对于任意两个随机变量X 和Y，D(XY)?D(X)?D(Y)2Cov(X,Y)
_?协方差具有下述性质
1Cov(X,Y)?Cov(Y,X), Cov(aX,bY)?abCov(X,Y) 2Cov(X1?X2,Y)?Cov(X1,Y)?Cov(X2,Y) 定理 1 2 当
?XY?1
?XY?1的充要条件是，存在常数a,b使P{Y?a?bx}?1
?XY?0时，称X和Y不相关
附：几种常用的概率分布表
分布 参数 分布律或概率密度 数学期望 方差 两点分布 二项式分布 泊松分布 几何分布 0?p?1 P{X?k)?pk(1?p)1?k,k?0,1， kP(X?k)?Cnpk(1?p)n?k,k?0,1,?n， p np p(1?p) np(1?p) n?10?p?1 ??0 0?p?1 P(X?k)??ke??k!,k?0,1,2,? ? 1 pa?b 2? 1?p p2P(X?k)?(1?p)k?1p, k?1,2,? ?1?,a?x?b， f(x)??b?a??0，其他均匀分布 a?b (b?a)2 12 9
指数分布 ??0 ? ??0 ?1?x??ef(x)?????0,x?0,其他? (x??)22?2 ? ?2 正态分布 f(x)?12??e ? ?2 第五章 大数定律与中心极限定理
§1． 大数定律
弱大数定理（辛欣大数定理） 设X1，X2…是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并
1n具有数学期望E(Xk)??(k?1,2,?).作前n个变量的算术平均?Xk，则对于任意
nk?11n??0，有limP{?Xk????}?1
n??nk?1定义 设Y1,Y2,?Yn?是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数?，有
plimP{Yn?a??}?1，则称序列Y1,Y2,?Yn?依概率收敛于a，记为Yn???a
n??伯努利大数定理 设fA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数?〉0，有limP{n??fn?p??}?1或nlimP{n??fn?p??}?0 n§2中心极限定理
定理一（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差E(Xi)??, D(Xk)??2（k=1,2，…），则随机变量之和
?Xi?1nk标准化变量， Yn??Xk?1nk?E(?Xk)k?1nn??Xi?1nk ?n?，
D(?Xk)k?1n?定理二（李雅普诺夫定理） 设随机变量X1,X2,?,Xn…相互独立，它们具有数学期望和方差E(Xk)??k, D(Xk)??k?0,k?1,2?记Bn?
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222??k k?1n定理三（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量?n(n?1,2,?)服从参数为n,p(0?p?1）的二项分布，则对任意x，有limP{n???n?npnp(1?p)?x}??x12???e?t22dt??(x)
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