《概率论与数理统计》
第一章 概率论的基本概念
§2．样本空间、随机事件
1．事件间的关系 A?B 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生
A?B ?{xx?A或x?B}称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件A?B发生
A?B ?{xx?A且x?B}称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件A?B发生
A—B ?{xx?A且x?B}称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A—B发生
A?B??，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的
A?B ?S且A?B??，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件
2．运算规则 交换律A?B?B?A A?B?B?A
结合律(A?B)?C?A?(B?C) (A?B)C?A(B?C) 分配律A?（B?C）?(A?B)?(A?C) A?(B?C)?(A?B)(A?C) 徳摩根律A?B?A? B A?B?A?B
—§3．频率与概率
定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事
件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率
概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率 1．概率P(A)满足下列条件：
（1）非负性：对于每一个事件A 0?P(A)?1 （2）规范性：对于必然事件S P(S)?1
1
（3）可列可加性：设A1,A2,?,An是两两互不相容的事件，有P(以取?）
2．概率的一些重要性质： （i）P(?)?0
?A)??P(A)（n可
kkk?1k?1nn（ii）若A1,A2,?,An是两两互不相容的事件，则有P( ?A)??P(A)（n可以取?）
kkk?1k?1nn（iii）设A，B是两个事件若A?B，则P(B?A)?P(B)?P(A)，P(B)?P(A) （iv）对于任意事件A，P(A)?1
（v）P(A)?1?P(A) （逆事件的概率）
（vi）对于任意事件A，B有P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
§4等可能概型（古典概型）
等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件
A
包含
k
个基本事件，即A?{ei1]}?{ei2}???{eik}，里
i1，i2,?，ik是1,2，?n中某k个不同的数，则有P(A)??P{eij}?j?1k??kA包含的基本事件数?
nS中基本事件的总数§5．条件概率
（1） 定义：设A,B是两个事件，且P(A)?0，称P(B|A)?件下事件B发生的条件概率
（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件
1非负性：对于某一事件B，有P(B|A)?0
2规范性：对于必然事件S，P(S|A)?1
3可列可加性：设B1,B2,?是两两互不相容的事件，则有
。。
P(AB)为事件A发生的条P(A)P(?BiA)??P(BiA)
i?1i?1??（3） 乘法定理 设P(A)?0，则有P(AB)?P(B)P(A|B)称为乘法公式
2
（4） 全概率公式： P(A)??P(B)P(A|B)
iii?1n贝叶斯公式： P(Bk|A)?P(Bk)P(A|Bk)?P(B)P(A|B)iii?1n
§6．独立性
定义 设A，B是两事件，如果满足等式P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A,B相互独立 定理一 设A，B是两事件，且P(A)?0，若A，B相互独立，则P(B|A)?P?B? 定理二 若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B，A与B，A与B
————第二章 随机变量及其分布
§1随机变量
定义 设随机试验的样本空间为S?{e}. X?X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X?X(e)为随机变量
§2离散性随机变量及其分布律
1． 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随
机变量称为离散型随机变量
P(X?xk)?pk满足如下两个条件（1）pk?0，（2）?Pk=1
k?1?2． 三种重要的离散型随机变量
（1） 分布
设随机变量X只能取
0与1两个值，它的分布律是
k1-kP(X?k)?p（1-p），k?0,1（0?p?1)，则称X服从以p为参数的 分布或
两点分布。
（2）伯努利实验、二项分布
设实验E只有两个可能结果：A与A，则称E为伯努利实验.设P(A)?p（0?p?1)，此时P(A)?1-p.将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。
??n?kn-k P(X?k)??（2）?Pk=1注意?n满足条件（1）pk?0，?k??pq，k?0,1,2，k?1??—— 3
kn-k（p?q）的展开式中出现p的那一项，我们称随机变量X服从参数到??p??q是二项式
?n??k?nk为n，p的二项分布。 （3）泊松分布
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为
P(X?k)??ke-?k!,k?0,1,2?,其中??0是常数，则称X服从参数为?的泊松分布记为
X~?（?）§3随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)?P{X?x},-??x?? 称为X的分布函数
分布函数F(x)?P(X?x)，具有以下性质(1) F(x)是一个不减函数 （2）
0?F(x)?1，且F(??)?0,F(?)?1 （3）F(x?0)?F(x),即F(x)是右连续的
§4连续性随机变量及其概率密度
连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数f(x)，使对于任意函数x有F(x)??f（t）dt,-?x则称x 为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X
的概率密度函数，简称概率密度
1 概率密度f(x)具有以下性质，满足（1）f(x)?0, (2) （3）P(x1?X?x2)????-?f(x)dx?1；
?x2x1，f(x)dx；（4）若f(x)在点x处连续，则有F(x)?f(x)
2,三种重要的连续型随机变量
(1)均匀分布
?1?，a?x?b若连续性随机变量X具有概率密度f(x)??b-a，则成X在区间(a,b)上服从
??0，其他均匀分布.记为X~U（a，b）
(2)指数分布
?1-x??e若连续性随机变量X的概率密度为f(x)?????0服从参数为?的指数分布。
（3）正态分布
，x.?0，其他 其中??0为常数，则称X
4
若连续型随机变量
X的概率密度为f(x)?12??e?2(x??）2?2，-??x??，其中?，?（??0)为常数，则称X服从参数为?，?的正态分布或高斯分布，记为
X~N（?，?2）特别，当??0，??1时称随机变量X服从标准正态分布
§5随机变量的函数的分布
定理 设随机变量X具有概率密度fx(x)，-??x??,又设函数g(x)处处可导且恒有
g,(x)?0，则
Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为
?fX?h(y)?h,(y),??y?? fY(y)??0，其他?第三章 多维随机变量
§1二维随机变量
定义 设E是一个随机试验，它的样本空间是S?{e}. X?X(e)和 Y?Y(e)是定义在S上的随机变量，称X?X(e)为随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y）叫做二维随机变量
设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数
F（x，y）?P{(X?x)?(Y?y)}记成P{X?x，Y?y}称为二维随机变量（X，Y）的
分布函数
如果二维随机变量（X，Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X，Y）是离散型的随机变量。
?为二维离散型随机变量（X，Y）的我们称P(X?xi，Y?yj)?pij，i，j?1,2，分布律。
对于二维随机变量（X，Y）的分布函数F（x，y），如果存在非负可积函数f（x，y），
?使对于任意x，y有F（x，y）??yx-?-?f（u，v）dudv，则称（X，Y）是连续性的随机变量，
函数f（x，y）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密
度。
§2边缘分布
二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数F（x，y）.而X和Y都是随机
（变量，各自也有分布函数，将他们分别记为F（，依次称为二维随机变量（X，Y）Xx),FYy） 5
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