400?6?4(分钟)，也就是说乙比甲早4分钟到达B地．那么600乙从B地出发比甲早4?1?5(分钟)，走到C地被甲追上，相当于甲走400米比乙少用5分钟，
对于剩下的400米，乙比甲要少用
那么对于剩下的600米，甲比乙要少用
600?5?7.5(分钟)．所以甲比乙提前7.5分钟回到A地． 400【答案】7.5分钟
【例 16】 一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高
50%。出发2小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时，小轿车刚好走到甲、乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 此题的关键是分析清楚题目中所提到的小轿车返回时速度提高50%所带来的变化，所以可以先假
设小轿车返回时速度不发生变化会是什么样，然后再进行对比分析．如果小轿车返回时速度不提
高，那么大货车到达乙地时，小轿车又走了甲、乙两地距离的
11?(1?50%)?，所以，从甲地2313到乙地小轿车与大货车的速度比为：(1?):1?4:3，小轿车到达乙地时，大货车走了全程的，
34还差
1．小轿车从乙地返回甲地时，与大货车的速度比为4?(1?50%):3?2:1，小轿车从乙地返4111??，即相遇时大货车共走了全程的41?212回到与大货车相遇时，大货车又走了全程的
3155121239那么大货车从甲地到乙地需要2??小时，小轿车从甲地到乙地需要??小??，
41266554599时，小轿车往返一次需要??(1?50%)?3小时．
55【答案】3小时
12【例 17】 甲、乙两地间平路占，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的，一辆汽车从甲
35地到乙地共行了10小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢20%，行下山路的速度比平路快20%，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意，可以把甲、乙两地之间的距离看作25，这样两地间的平路为5，从甲地去往乙地，上
23?8，下山路为20??12；再假设这辆车在平路上的速度为5，则上山时的2?32?3速度为4，下山时的速度为6，于是，由甲地去乙地所用的总时间为：8?4?5?5?12?6?5；从乙地回到甲地时，汽车上山、下山的速度不变，但是原来的上山路变成了此时的下山路，原来的
山路为20?1下山路变成了此时的上山路，所以回来时所用的总时间为：12?4?5?5?8?6?5．由于从甲
312地到乙地共行了10小时，所以从乙地回来时需要10?5?5?10小时．
332【答案】10小时
3
【例 18】 甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑
完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的
2．甲跑3
11第二圈的速度比第一圈提高了，乙跑第二圈的速度提高了，已知沿跑道看从甲、乙两人第
35二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答
223【解析】 从起跑由于跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，所以第一次相遇的地方在距起点(或者)
3552圈，此时乙距出发31?1?2点还有圈，根据题意，此时甲要回头加速跑，即此时甲与乙方向相同，速度为乙的?1????23?3?3处．由于甲的速度比乙快，所以甲先跑完第一圈，甲跑完第一圈时，乙跑了
121倍．所以乙跑完剩下的圈时甲又跑了圈，此时甲距出发点还有圈，而乙又要回头跑，所以
333?1??2?1??此时两人相向而行，速度比为?1??:???1????5:3，所以两人第二次相遇点距离出发点
?3??3?5??131212121192119，注意到1?，所以最短距离为圈，所??，两次相遇点间隔????35?38584040404040以跑道长190?19?400米． 40【答案】400米
【例 19】 甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去．相遇后
甲比原来速度增加4米／秒，乙比原来速度减少4米／秒，结果都用25秒同时回到原地．求甲原来的速度．
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为相遇前后甲、乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用25秒，则相遇前两人合跑
一圈也用25秒．
(法1)甲以原速V甲跑了25秒的路程与以?V甲?4?的速度跑了25秒的路程之和等于400米，25V甲?25?V甲?4??400，解得V甲?6米/秒．
(法2)由跑同样一段路程所用的时间一样，得到V甲?4?V乙，即二者速度差为4；而二者速度和为V甲?V乙?400?16，这是个典型的和差问题．可得V甲为：?16?4??2?6米/秒． 25【答案】6米/秒
【巩固】从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的
总路程为20千米．某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍．求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度．
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设A、C之间的路程为x千米，自行车上坡速度为每小时y千米，则C、B之间的路程为(20?x)
?x20?x?y?2y?2?千米，自行车下坡速度为每小时2y千米．依题意得：?，两式相加，得：
20?xx3???1?y2y4?
20203??2?1，解得y?8；代入得x?12．故A、C之间的路程为12千米，自行车上坡时的y2y4速度为每小时8千米．
【答案】8千米
【例 20】 欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨7:40，欢欢从家出发骑车去学校，7:46追
上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8:00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如
果欢欢在家换校服用去6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是 点 分．
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，六年级 【解析】 欢欢从出发到追上贝贝用了6分钟，那么她调头后速度提高到原来的2倍，回到家所用的时间为
3分钟，换衣服用时6分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了20?6?3?6?5分钟，故她以原速度到达学校需要10分钟，最开始她追上贝贝用了6分钟，还剩下4分钟的路程，而这4分
钟的路程贝贝走了14分钟，所以欢欢的6分钟路程贝贝要走14??6?4??21分钟，也就是说欢欢
追上贝贝时贝贝已走了21分钟，所以贝贝是7点25分出发的．
【答案】7点25分
【例 21】 甲、乙两人都要从A地到B地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟60米．乙比甲早出发
20分钟，甲在距A地1920米的C处追上乙，两人继续向前，甲发现自己忘带东西，于是将速度提高到原来的1.5倍，马上返回A地去取，并在距离C处720米的D处遇上乙．甲到达A地后在A地停留了5分钟，再以停留前的速度骑往B地，结果甲、乙两人同时到达B地．A、B两地之间的距离是 米．
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 乙从A地到C处所用时间为1920?60?32分钟，甲用的时间为32?20?12分钟，甲的速度为
1920?12?160米/分钟，速度提高后为160?1.5?240米/分钟．甲从D处回到A地并停留5分钟，
共用时间?1920?720??240?5?16分钟，此时乙又走了60?16?960米，两人的距离为此时相当于追及问题，追及时间为3600??240?60??20分钟，所以A、1920?720?960?3600米，
B两地之间的距离为240?20?4800米．
【答案】4800米
【例 22】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上
学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设小芳上学路上所用时间为2，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路的长度相
5同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是1?1.6?，因此，走上坡路
8533需要的时间是2??1，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为1:1?8:11，
8888所以，上坡速度是平路速度的倍．
118【答案】倍
11
【例 23】 赵伯伯为锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回。假设赵伯
伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 因为是原路返回，所以上坡的路程和下坡的路程相等.上下坡的平均速度为2÷（1÷3+1÷6）=4，与
平路速度相等，所以全程的平均速度为4千米/小时，3小时共步行4×3=12千米.
【答案】12千米
【例 24】 王老师每天早上晨练，他第一天跑步1000米，散步1600米，共用25分钟；第二天跑步2000
米，散步800米，共用20分钟。假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变。求：(1)王老师跑步的速度； (2)王老师散步800米所用的时间。
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 (1) 第二天跑步2000米，散步800米，共用20分钟，那么跑步4000米，散步1600米，共用
40分钟，又已知跑步1000米，散步1600米，共用25分钟，所以王老师跑步4000-1000=3000(米)，用时40-25=15(分钟)，即王老师跑步的速度为3000÷15=200(米/分钟)
(2)因为王老师跑步2000米，散步800米，共用时20分钟，所以王老师散步800米，用时2000?20?10?10?分?200
【答案】(1) 200米/分钟 (2)10分
【例 25】 某校在400米环形跑道上进行1万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速度始终保持
不变，开始时甲比乙慢，在第15分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙。在第23分钟时甲再次追上乙，而在23分50秒时甲到达终点。那么，乙跑完全程所用的时间是多少分钟？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】祖冲之杯，小学数学邀请赛 【解析】 本题中乙的速度始终保持不变，甲则有提速的情况，但是甲提速后速度就保持不变，所以可以从
甲提速后的情况着手进行考虑．根据题意可知，甲加速后，每过23?18?5（分钟）比乙多跑一圈，即每分钟比乙多跑400?5?80（米）．由于第18分钟时甲、乙处于同一位置，则在23分50秒时甲到达终点时，乙距终点的距离就是此时甲、乙之间的距离，即乙距离终点还有
1400??50?1400?（米），即乙在23分50秒内跑了?10000?80??23?18???米，由于乙的速度始终33??60??20?保持不变，所以乙每分钟跑
1400?50?．所以，乙跑完全程需要10000?400?25（分钟）． ?10000???23?400（米）
360??【答案】25分钟
【例 26】 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙
第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是 米．
AC
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯 【解析】 如图，设跑道周长为1，出发时甲速为2，则乙速为5．假设甲、乙从A点同时出发，按逆时针方
向跑．由于出发时两者的速度比为2:5，乙追上甲要比甲多跑1圈，所以此时甲跑了
251?(5?2)?2?，乙跑了；此时双方速度发生变化，甲的速度变为2?(1?25%)?2.5，乙的速
33度变为5?(1?20%)?4，此时两者的速度比为2.5:4?5:8；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1
B圈，则此次甲跑了1?(8?5)?5?55，这个就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程．从3352环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是?1?个周长，又可
3351能是2??个周长．
33那么，这条环形跑道的周长可能为100?21?150米或100??300米． 33【答案】300米
【例 27】 如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分）
道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米。两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距A点还有 米。
A
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕
着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到A点，即两人在A点迎面相遇，然后再从A点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期．在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是A点．本题要求的是第99次迎面相遇的地点与A点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与A点的距离．对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到跑完正常道路时，乙才跑了200?8?4?100米，此时两人相距100米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑50米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了100?50?150米，这就是第一次相遇点与A点的距离，也是第99次迎面相遇的地点与A点的距离．
【答案】150米
小学奥数教师版合辑-3-2-6变速问题
