南平市2019-2020学年高中毕业班第一次综合质量检测
理科数学试题答案及评分参考
说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． （1）A （2）C （3）D （4）D （5）C （6）C （7）B （8） B （9）A （10）B （11）B （12）A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分． （13）(0,) （14） 20 （15）2n （16） [3,??)
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分） 解：（1）由已知及余弦定理可得：
1e2abcosC?∴sinC?sinC?2absinC?3ab，···················2分 cosC?3··················5分 ∵△ABC为锐角三角形，∴C?·32················6分 （2）由正弦定理，可得3a?4b，·∵S△ABC?13················8分 absinC=ab?33，∴ab?12， ·
24················9分 解得a?4,b?3，·
由余弦定理得c2?a2?b2?2abcosC?16?9?12?13， ················12分 ?c?13，于是△ABC的周长为7?13.·
1
(18) （本小题满分12分）
证明：设AC交BD于点P，QAD?AB，CB?CD，所以
△ACD?△BCD，所以?ACB??ACD?60o，在△BCD中，CB?CD且?ACB??ACD?60o，得CP?BD，即
AC?BD，…………………2分
又平面SBD?平面ABCD，平面SBDI平面ABCD?BD，
AC?平面ABCD，所以AC?平面SBD ………………………3分
又SB?平面SBD，所以AC?SB ………………5分
（2）平面SBD?平面ABCD，平面SBDI平面ABCD?BD，SM?平面SAB，
SM?BD，所以SM?平面ABCD， ……………………6分
以P为原点，以射线PA,PB,PQ为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，
A(3,0,0)，B(0,3,0)，S(0,?3,33)，C(?1,0,0)，
22ruuuruur3333uuu,,SB?(0,,?)AB?(?3,3,0)BC?(?1,?3,0)……………………7分
22?3333y?z?0r?设平面ASB的法向量为n?(x,y,z)，则?2， 2??3x?3y?0?取x?1，得n?(1,3,3)………………9分
r?3333y??z??0r?设平面SBC的法向量为n?(x?,y?,z?)，则?2，取y??1，得2??x??3y??0?rm?(?3,1,1)……………11分
rrn?m105rr设所求角为?，则|cos?|?|cos?n,m?|?|rr|?，
|n||m|35?所求的锐二面角余弦值为105 ………………12分
35 (19) （本小题满分12分）
2
x2y2解：由椭圆C：2?2?1(a?b?0)的长轴长是离心率的两倍
ab·······1分 得2a?2e，即a2?c……….. ①·设A(x1,y1),B(x2,y2)
x2y2联立2?2?1和4x?4y?3?0
ab整理得(a?b)x?222329ax?a2?a2b2?0；········3分 21632a所以， 2x1?x2??2a?b232a·······5分 依题意得：，即a2?2b2…….. ②·2?2=?1a?b21212由①②得依题意得a?,b?
24·······6分 所以椭圆C的方程为2x?4y?1.·
22332222·······7分 得x3?y3?x4?y4?·
44122······9分 因为M(x3,y3),N(x4,y4)在椭圆C上，故x3?x4?·2（2）设M(x3,y3),N(x4,y4)，由|OM|?|ON|?22KOM2?KON2111（1?2(x32?x42)?4x32x42)(1?2x32)?(1?2x42)yy1.·=16··12 4?3242?4?2222x3x4x3x4x3x4422（20）（本小题满分12分） 20.解:(1)f'(x)?1?lnx?a(x?0). ········1分 2x·······2分 当0?x?e1?a时，f'(x)?0,f(x)单调递增；········3分 当x?e1?a时，f'(x)?0,f(x)单调递减. ·
1?a1?a+?········4分 所以f(x)的单调递增区间为0,e，单调递减区间为e，????x(2)由g(x)?f(x)得e?1?lnx?a xx·······5分 也就是a?xex?x?lnx，令h(x)?xe?x?lnx，·
3
11x=(x?1)(e?)，由x?0知，x?1?0. xx11xx·······6分 设t(x)?e?，t'(x)?e?2?0，t(x)在?0,???单调递增，·
xx11（,1）又t()?e?2?0,t(1)?e?1?0，所以存在x0?使得t(x0)?0，
22则h'(x)?e?xe?1?xxx即e?01.········7分 x0当x??0,x0?时，h'(x)?0，h(x)在?0,x0?单调递减；
·······9分 当x??x0,???时，h'(x)?0，h(x)在?x0,???单调递增; ········11分 所以h(x)min?h(x0)?x0e?x0?lnx0=1?x0?x0?1.·
x0·······12分 所以a的取值范围是???,1?.· (21) （本小题满分12分）
解：（1）由y?c?d，两边同时取常用对数得：lgy?lg(c?d)?lgc?lgd?x； 设lgy?v?v?lgc?lgd?x…………………………………………………………1分
xx?x?4,v?1.52，?xi?1?4?9?16?25?36?49?140， …………………2分
2i?17???lgd?xvi?172i?17ii?7x?v?2x?7?4?i49.56?7?4?1.527??0.25，………………………4分 228140?7?4??0.52， 1.52)代入v?lgc?lgd?x,得: lgc把样本中心点(4，??0.52?0.25x……………………………………5分 ??0.52?0.25x?lgy?v?y关于x的回归方程为：y??100.52?0.25x?100.52?100.25x?3.31?(100.25)x；
??3.31?10?331； 把x?8代入上式， y活动推出第8天使用扫码支付的人次为331； …………………………………………7分 （2）记一名顾客购物支付的费用为?，
则?的取值可能为：a，0.9a，0.8a，0.7a；…………………………………… 8分
2 4
P(??a)?0.2；P(??0.9a)?0.3?1?0.15； 2P(??0.8a)?0.5?0.3?分布列为：
11?0.6；P(??0.7a)?0.3??0.05…………………10分 36? P a 0.9a 0.8a 0.7a 0.2 0.15 0.6 0.05 所以，一名顾客购物的平均费用为：
0.2a?0.9a?0.15?0.8a?0.6?0.7a?0.05?0.85a（元）………………………12分
（22）（本小题满分10分）
解：（1）直线l的极坐标方程2?cos(???4)?1化成?cos???sin??1
?x??cos?,y??sin?，?直线l的直角坐标方程为x?y?1?0……………2分
x???cos??sin?,(?为参数）曲线C的参数方程化成：?2.
??y?cos??sin?x2x2y22平方相加得?y?2，即??1 ………………5分
482（2）设点P(2cos??2sin?,cos??sin?)，则P到直线l的距离为：
d?|3cos??sin??1|2?|10sin(???)?1|25? ………………8分
当sin(???)??1时，dmax?2………………9分 2设?PAB的面积为S，则Smax?122 ……10分 ?|AB|?(5?)?5?222法二：也可设点P(22cos?,2sin?)
23.已知函数f(x)?|2x?t|，若f(x)?1的解集为(?1,0). （1）求t并解不等式f(x)?x?2；
?（2）已知：a,b?R，若f(x)?2a?b?|2x?2|,对一切实数x都成立，求证：a2b?1.
5
福建省南平市2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)参考答案
