第四节 数列求和
[考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式： n?a1＋an?n?n－1?Sn＝＝na＋122d； (2)等比数列的前n项和公式：
?na1，q＝1，n
Sn＝?a1－anqa1?1－q?
?1－q＝1－q，q≠1.
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(2)裂项时常用的三种变形： ①
111
＝n－；
n?n＋1?n＋1
1?11?1
－??； ②＝
?2n－1??2n＋1?2?2n－12n＋1?③1n＋n＋1
＝n＋1－n.
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．
5．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝a1－an＋1
.( ) 1－q
(2)当n≥2时，
1?11?1－??.( ) ＝
n2－12?n－1n＋1?
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( )
(4)如果数列{an}是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm＝mSk.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝A．1 1C. 6
111
B [∵an＝＝n－，
n?n＋1?n＋1
11115
∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－2＋2－3＋…－6＝6.]
3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{an}中，a2·a8＝4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于( )
5
B.6 D．
1 30
1
，则S5等于( )
n?n＋1?
A．9 C．36
B．18 D．72
B [∵a2·a8＝4a5，即a25＝4a5，∴a5＝4， ∴a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2， ∴S9＝9b5＝18，故选B.]
4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.
【导学号：57962259】
2
n＋1
2?1－2n?n?1＋2n－1?
n＋12
－2＋n2 [Sn＝＋＝2－2＋n.]
21－2
5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝__________. n＋41111
4－2n [设S＝3×2＋4×22＋5×23＋…＋(n＋2)×2n， 11111则2S＝3×22＋4×23＋5×24＋…＋(n＋2)×n1.
2＋1?n＋211?11
两式相减得2S＝3×2＋?22＋23＋…＋2n?－n1.
??2＋1?n＋2?11
＋＋…＋2∴S＝3＋?22n n－1?－22??
1???1?1－?2?2????
n－1?
＝3＋
?
??
11－2
n＋2n＋4－2n＝4－2n.]
分组转化求和 (2016·北京高考)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，
b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
b39
[解] (1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝b＝3＝3，
2
b2
所以b1＝q＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…). 设等差数列{an}的公差为d.
因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2. 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…). (2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 从而数列{cn}的前n项和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 n?1＋2n－1?1－3n3n－1
2
＝＋＝n＋2. 21－3[规律方法] 分组转化法求和的常见类型
2分
5分
7分
12分
(1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
??bn，n为奇数，
(2)通项公式为an＝?的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数
??cn，n为偶数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．
[变式训练1] (2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an
＋1
＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．
???a1＋a2＝4，?a1＝1，
[解] (1)由题意得?则?
???a2＝2a1＋1，?a2＝3.
2分
又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an， 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*. (2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1. 当n≥3时，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3，
9?1－3n－2??n＋7??n－2?3n－n2－5n＋11
当n≥3时，Tn＝3＋－＝，
221－32， n＝1，??
所以Tn＝?3n－n2－5n＋11
*
， n≥2，n∈N.??2
8分 5分
12分
裂项相消法求和 (2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a2n＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝
1
，求数列{bn}的前n项和． anan＋1
2
[解] (1)由an＋2an＝4Sn＋3，①
可知a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②
2②－①，得a2n＋1－an＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 22即2(an＋1＋an)＝an＋1－an＝(an＋1＋an)(an＋1－an).
3分
由an>0，得an＋1－an＝2.
又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
1
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1. 5分
2
2018一轮北师大版（理）数学教案：第5章 第4节 数列求和 Word版含解析
