【分析】（1）设条纹的宽度为x米，根据等量关系：配色条纹所占面积=整个地毯面积的
，
列出方程求解即可； （2）根据总价=单价×数量，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解． 【解答】解：（1）设条纹的宽度为x米．依题意得 2x×5+2x×4﹣4x2=解得：x1=
×5×4，
（不符合，舍去），x2=．
答：配色条纹宽度为米． （2）条纹造价：
×5×4×200=850（元）
）×4×5×100=1575（元）
其余部分造价：（1﹣
∴总造价为：850+1575=2425（元） 答：地毯的总造价是2425元． 【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 23．（12分）（2016?赤峰）如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．
（1）求圆的半径及圆心P的坐标； （2）M为劣弧
的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；
（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．
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【分析】（1）先利用勾股定理计算出AB=10，再利用圆周角定理的推理可判断AB为⊙P的直径，则得到⊙P的半径是5，然后利用线段的中点坐标公式得到P点坐标； （2）根据圆周角定理由
=
，∠OAM=∠MAB，于是可判断AM为∠OAB的平分线；
（3）连接PM交OB于点Q，如图，先利用垂径定理的推论得到PM⊥OB，BQ=OQ=OB=4，再利用勾股定理计算出PQ=3，则MQ=2，于是可写出M点坐标，接着证明MQ为△BON的中位线得到ON=2MQ=4，然后写出N点的坐标． 【解答】解：（1）∵O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）， ∴OA=6，OB=8， ∴AB=
=10，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙P的直径， ∴⊙P的半径是5
∵点P为AB的中点， ∴P（4，﹣3）；
（2）∵M点是劣弧OB的中点， ∴
=
，
∴∠OAM=∠MAB，
∴AM为∠OAB的平分线；
（3）连接PM交OB于点Q，如图， ∵
=
，
∴PM⊥OB，BQ=OQ=OB=4， 在Rt△PBQ中，PQ==
=3，
∴MQ=2，
∴M点的坐标为（4，2）； ∵MQ∥ON， 而OQ=BQ，
∴MQ为△BON的中位线， ∴ON=2MQ=4，
∴N点的坐标为（0，4）．
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【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆周角定理；理解坐标与图形的性质，记住线段的中点坐标公式，会利用勾股定理计算线段的长．此类题目通常解由半径、弦心距和弦的一半所组成的直角三角形．
24．（12分）（2016?赤峰）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与一次函数y=k（x﹣2）的图象交点为A（3，2），B（x，y）． （1）求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；
（2）若C是y轴上的点，且满足△ABC的面积为10，求C点坐标．
【分析】（1）根据点A（3，2）在反比例函数y=，和一次函数y=k（x﹣2）上列出m和k的一元一次方程，求出k和m的值即可；联立两函数解析式，求出交点坐标；
（2）设C点的坐标为（0，yc），求出点M的坐标，再根据△ABC的面积为10，知×3×|yc﹣（﹣4）|+×1×|yc﹣（﹣4）|=10，求出yC的值即可．
【解答】解：（1）∵点A（3，2）在反比例函数y=，和一次函数y=k（x﹣2）上； ∴2=，2=k（3﹣2），解得m=6，k=2；
∴反比例函数解析式为y=，和一次函数解析式为y=2x﹣4； ∵点B是一次函数与反比例函数的另一个交点，
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∴=2x﹣4，解得x1=3，x2=﹣1；
∴B点的坐标为（﹣1，6）；
（2）∵点M是一次函数y=2x﹣4与y轴的交点， ∴点M的坐标为（0，﹣4），
设C点的坐标为（0，yc），由题意知×3×|yc﹣（﹣4）|+×1×|yc﹣（﹣4）|=10， 解得|yc+4|=5，
当yc+4≥0时，yc+4=5，解得Yc=1， 当yc+4≤0时，yc+4=﹣5，解得Yc=﹣9， ∴点C的坐标为（0，1）或（0，﹣9）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出两个函数的解析式以及直线AB与y轴的交点坐标，此题难度一般． 25．（12分）（2016?赤峰）如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E． （1）求证：△ABP∽△QEA；
（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA； （3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）
【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可； （2）根据全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质得出函数解析式即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形； ∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，
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∵QE⊥AP；
∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90° ∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ； ∴△ABP∽△QEA（AA） （2）∵△ABP≌△QEA；
∴AP=AQ（全等三角形的对应边相等）；
在RT△ABP与RT△QEA中根据勾股定理得AP2=32+t2，AQ2=（2t）2 即32+t2=（2t）2
解得t1=，t2=﹣（不符合题意，舍去） 答：当t取时△ABP与△QEA全等． （3）由（1）知△ABP∽△QEA； ∴
=（
）2
∴=（
）2
整理得：y=．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理是解题的关键． 26．（14分）（2016?赤峰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）． （1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式； （2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标．
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历年中考数学模拟试题（含答案）(201)
