第一章 误差
1 问 3.142，3.141，
22 分别作为 π 的近似值各具有几位有效数字？
7
分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π=3.141 592 65,
记 x1=3.142，x2=3.141 ，x3=
22 .
7
由π- x1=3.141 59, -3.142=-0.000 40, 知
1
3
1
4
10 2
因而 x1 具有 4 位有效数字。
由π- x2=3.141 59, -3.141=-0.000 59, 知
| x |
1
10 2
1 2
10 3 |
x
|
1 2
2
10
2
因而 x2 具有 3 位有效数字。
由π- 22 =3.141 59 , -3.142 85, =-0.001 26, 知
7
1 10 2 3 |
22 7
|
1 2
2
10
因而 x3 具有 3 位有效数字。
2
已知近似数 x* 有两位有效数字，试求其相对误差限。
n=2,a1 是 1 到 9 之间的数字。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。 解 利用有效数字与相对误差的关系。这里
| x x* |
|
1
1
*
n
1
2 1
5%
(x) |
r
x | * |
2
a
1
10
2 1
10
3 已知近似数的相对误差限为 解 a1 是 1 到 9 间的数字。
*r
0.3%，问 x* 至少有几位有效数字？
分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
3
(x)0.3%
1
2
1
1
1
10
10
2(a 1)
1
1
1000 2 10 2 (9 1)
设 x* 具有 n 位有效数字，令 -n+1=-1，则 n=2，从而 x* 至少具有 2 位有效数字。 4 计算 sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于 分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。 解 设取 n 位有效数字，由 sin1.2=0.93 , ，故 a1=9。
0.01%。
(
| x x* |
1
n
1
4
* r
x) |
x | * |
n 1
2
a
1
10 0. 01% 10
1
解不等式
知取 n=4 即可满足要求。
10 2a
1
10 4
5 计算 1
1 ，视已知数为精确值，用 4 位浮点数计算。
759 760
1 / 25
解 1
1
0.131 8× 10
-2
759 760
-0.131 6× 10-2=0.2× 10-5
结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算：
1 759
1 760 1 759 760
1 6 0.5768 10
0.1734 10
5
就得到 4 位有效数字的结果。
此例说明， 在数值计算中， 要特别注意两相近数作减法运算时，
有效数字常会严重损失，
遇到这种情况，一般采取两种办法：第一，应多留几位有效数字；第二，将算式恒等变形， 然后再进行计算。例如，当
x 接近于 0，计算
1 cos x 时，应先把算式变形为 sin x
1
cos
x 2
sin x
1
sin
x) 1 sin x
cos
cos
x
x(1 cos
x
再计算。又例如，当 x 充分大时，应作变换
1 x x
1 x 1
x
1 x
1 1 x 1
x(x 1)
6 计算 a
( 2 1)6 ，取 2 1.4，采用下列算式计算：
（1）
( 1 ； 2 1)
6
（2） 99 70 2 ；
（3） (3 2 2)3 ；
（4）
(3
1 . 2 2)3
问哪一个得到的结果最好？
解 显然 6
a 6
( 2 2 6 ( 2 ( 1) ( 1) 1 2
1)
2 1) ( 6 1)
6
3
(
1 3 2 2)3
99 70 2
2 )
( 2
2
6
1) (
( 2
6 1) 1 6 1 1 ( 2 ( 2 1) 3 (3 3
1) 2 2
2) 所以（1）≡（2）≡（3）≡（4），这 4 个算式是恒等的， 但当取
2 1.4计算时， 因为 （2）
， （3）都涉及到两个相近数相减， 使有效数字损失， 而（1）在分母算式上的乘幂数比算式 4）（
大，所以算式（ 4）最好，事实上，当取
2 1.4时，有 | △x|<0.015 ，再由 f(x) 的误差
4）误差最
f(x
小。
x) f (x) | | f ( 1.4) || x|也可直接估计出每个算式的误差，显然，算式（
2 / 25
具体计算可行： （1）
1
3
6
；
5.2 10
( 2 1)
（2） 99
70 2 1.0
8.0 10 3 ；
.
3
3
（3） (3 2 2)3
1
（4）
(3 2 2)
2
5.1 10
a。
比较可得用第（ 4）个算式所得的结果更接近于
-(109+1)x+10 9=0 的根。
7 求二次方程 x
2
9
解 由于 x
-(10 +1)x+10
9 9）(x-1) ，所以方程的两个根分别为 =（x-10
9
如果应用一般二次方程
， x x1=10 2=1
2
+bx+c=0 的求根公式： 但ax
x
b
2
b
4ac
2a
2
>>4|ac|的情形时，有 | b | b2 4ac ，则用上述公式求出的两个根中，
如本例若在能将规格化的数表示到小
1,2
由于当遇到 b
总有一个因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠，
9
+1=0.1×1010+0.000 000 0001 ×1010，由于第二项
即在计算机运算时，
数点后 8 位的计算机上进行计算，则 -b=10
最后两位数 “01”在机器上表示不出来， 故它在上式的计算中不起作用，
9
-b=10 .
通过类似的分析可得
2
4ac | b | 109
b
所以，求得的两个根分别为
2
9
9
b
9
b x1
x
2
4ac 2a
b
10 10
10
2
b
2
4ac
9 9
10
a 2
10 2
0
显然，根 x2 是严重失真的。
为了求得可靠的结果，可以利用根与系数的关系式：
x1x2
c
，在计算机上采用如下
a
公式：
x
1
x
2
b sgn(b) b2
2a c ax
4ac
小晨精品计算方法 - 习题第一、二章答案[XCJP] - 图文
