第十三节 导数在研究函数中的应用(一）
知识梳理
一、函数的导数与函数的单调性的关系 1．函数单调性的充分条件．
设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′>0，那么函数y＝
f(x)在这个区间内为________；如果在这个区间内y′<0，那么函数y＝f(x)在这个
区间内为________．
2．函数单调性的必要条件．
设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果函数y＝f(x)在这个区间内为增函数，那么在这个区间内______；如果函数y＝f(x)在这个区间内为______，那么在这个区间内______．
3．求可导函数的单调区间的一般步骤和方法． (1)确定函数f(x)的定义域．
(2)计算导数________，令________，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根．
(3)把函数f(x)的间断点[即（fx）的无定义的点]的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把f(x)的定义域分成若干个小区间．
(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小区间的增减性[若f′(x)>0，则f(x)在相应区间内为增函数；若f′(x)<0，
则f(x)在相应区间内为减函数]．
二、函数的极值 1．函数极值的定义．
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是_______，记作_________，x0是________．
如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)．就说f(x0)是________，记作_________，x0是极小值点．极大值与极小值统称为________．
2．判别f(x0)是极大值、极小值的方法．
若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，
f(x0)是极值，并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，那么x0是f(x)的
________，f(x0)是________；如果f′(x)在x0两侧满足“________”，那么x0是
f(x)的极小值点，f(x0)是极小值．
3．求可导函数f(x)的极值的步骤．
(1)确定函数的定义区间，求导数________． (2)求方程________的根．
(3)用函数的导数为0的点和函数定义域的边界点，顺次将函数的定义域分成________，并列成表格．检查f′(x)在______，如果________，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果________，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右________，那么f(x)在这个根处________．
三、函数的最大值与最小值 1．函数的最大值与最小值．
在闭区间[a，b]上图象连续不断的函数f(x)在[a，b]上________最大值与最小值．
2．利用导数求函数的最值的步骤．
设函数f(x)在(a，b)内可导，在闭区间[a，b]上图象连续不断，求函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求f(x)在(a，b)内的________．
(2)将f(x)的各________与________比较，得出函数f(x)在[a，b]上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
基础自测
1．函数y＝xsin x＋cos x在(π，3π)内的单调增区间为( )
?A.?π，?
3π??3π，5π?
B.??2?2?2??
?5π?C.?，3π? D．(π，2π)
?2?
解析：∵y＝xsin x＋cos x，∴y′＝xcos x.
当x∈(π，3π)时，要使y′＝xcos x＞0，只要cos x＞0，结合选项知，只有B满足．
答案：B
2．函数f(x)＝ax＋x＋1有极值的充要条件是( ) A．a≥0 B．a>0 C．a≤0 D．a<0
解析：f′(x)＝3ax2＋1，若函数有极值，则方程3ax2＋1＝0必有实数根，显然a≠0，1
所以x2＝－>0，所以a<0.故选D.
3a
答案：D
132
3．函数f(x)＝x－x＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的取值范围是
3________．
1
解析：∵f(x)＝x3－x2＋ax－5，
3∴f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1.
1
如果函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或
3
3
??f′?－1?≤0，?解得a≥1或a≤－3.于是满足条件的a∈(－3,1)． ??f′?2?≤0，
答案：(－3,1)
4．(2013·武汉质检)已知函数f(x)的导数为f′(x)＝x－x，则当x＝________时，函数f(x)取得极大值．
解析：当x＜0或x＞1时，f′(x)＞0；当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以当x＝0时，函数f(x)取得极大值．
答案：0
2
1．(2012·陕西卷)设函数f(x)＝xe，则( ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析：f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，当x<－1时，f′(x)<0，f(x)＝xex为减函数；当x>－1时，f′(x)>0，f?x??xex为增函数，所以x＝－1为f(x)的极小值点．故选D.
答案：D
2．(2013·福建卷)已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值．
a
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－x. 2(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，
x因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－ (x－1)， 即x＋y－2＝0.
ax－a
(2)由f′(x)＝1－x＝x(x>0)，知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
x
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十三节导数在研究函数中的应用(一) 理
