第八篇 平面解析几何
专题8.07 双曲线及其几何性质
【考试要求】
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 【知识梳理】 1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)若a
标准方程 x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2y2x2－＝1(a>0，b>0) a2b2图 形 范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(－a，0)，A2(a，0) by＝±x ace＝，e∈(1，＋∞) a线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做A1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x b实虚轴 双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 【微点提醒】
2b2
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. aa2＋b2c
2.离心率e＝＝＝aa
b21＋2. a
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2. 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) x2y2
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
mn
x2y2xy
(4)双曲线2－2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.( )
mnmn
x2y2x2y211
(5)若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)与2－2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则2＋2＝1(此条件中两条
abbae1e2双曲线称为共轭双曲线).( ) 【教材衍化】
2.(选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________. 3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线焦点的距离等于________. 【真题体验】
x22
4.(2018·浙江卷)双曲线－y＝1的焦点坐标是( )
3A.(－2，0)，(2，0) C.(0，－2)，(0，2)
B.(－2，0)，(2，0) D.(0，－2)，(0，2)
x2－
y2
＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个16
x2y23
5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线2－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
a95x2y25
6.(2018·北京卷)若双曲线2－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
a42【考点聚焦】
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】 (1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝( )
1A. 43B. 53C. 44D. 5
(2)(2019·济南调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
【规律方法】 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； 2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
x2y2
【训练1】 (1)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲
ab线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为( ) A.215a2 C.30a2
B.15a2 D.15a2
23
(2)(2019·杭州质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－7)，点A(2，0)，点P为双
3曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为( ) A.8
B.10
C.4＋37
D.3＋317
考点二 双曲线的标准方程
x2y25x2
【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆
ab212y2
＋＝1有公共焦点，则C的方程为( ) 3x2y2
A.－＝1 810x2y2
C.－＝1 54
x2y2
B.－＝1 45x2y2
D.－＝1 43
x2y2
(2)(2018·天津卷)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于
abA，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( ) x2y2
A.－＝1 412x2y2
C.－＝1 39
x2y2
B.－＝1 124x2y2
D.－＝1 93
【规律方法】 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.
x2y2x2y2
2.与双曲线2－2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为2－2＝λ(λ≠0).
abab
专题8.7 双曲线及其几何性质-2021届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
