2009年广东省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2009?广东）已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A． B． C．
D．
【考点】Venn图表达集合的关系及运算． 【专题】集合．
【分析】先化简集合N，得N={﹣1，0}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案． 【解答】解：．由N={x|x2+x=0}， 得N={﹣1，0}． ∵M={﹣1，0，1}， ∴N?M， 故选B． 【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 2．（5分）（2009?广东）下列n的取值中，使in=1（i是虚数单位）的是（ ） A．n=2 B．n=3 C．n=4 D．n=5 【考点】虚数单位i及其性质． 【专题】数系的扩充和复数．
【分析】要使的虚数单位的n次方等于1，则n只能是4的整数倍，在本题所给的选项中，只有数字4符合题意，得到结果．
【解答】解：∵要使in；=1， 则n必须是4的整数倍，
在下列的选项中只有C符合题意， 故选C
【点评】本题考查虚数单位及性质，是一个基础题，题目若出现一定是一个必得分题目，不要忽视对这种简单问题的解答．
3．（5分）（2009?广东）已知平面向量=（x，1），=（﹣x，x2），则向量+（ ）
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A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线 【考点】平面向量的坐标运算． 【专题】平面向量及应用．
【分析】先做出两个向量的和，横标和纵标都用含x的代数式表示，结果和的横标为零，得到和向量与纵轴平行，要熟悉几种特殊的向量坐标特点，比如：与横轴平行的向量、与纵轴平行的向量．
【解答】解：+=（0，1+x2），1+x2≠0， 故+平行于y轴．
故选C
【点评】本题要求从坐标判断向量的特点，即用到向量的方向又用到向量的大小，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．
4．（5分）（2009?广东）若函数y=f（x）是函数y=axa（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（）
﹣
=1，则函数y=（ ） A．log2x B．
C．
D．2x2
﹣
【考点】反函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由f（）=1可得 f1（1）=，即 a1
﹣
﹣a
=，解出a的值，即得函数y的解析式．
【解答】解：∵f（）=1， ∴f1（1）=，
﹣
由题意知a1∴a=2，
﹣a
=，
y=axa（a＞0，且a≠1）y=2x2，
故选 D．
【点评】本题考查反函数的定义和反函数的求法，函数与反函数的关系． 5．（5分）（2009?广东）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3?a9=2a52，a2=1，则a1=（ ）
﹣
﹣
A． B． C． D．2
【考点】等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列．
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【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3?a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．
【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2?a1q8=2（a1q4）2， 即q2=2，又因为等比数列{an}的公比为正数， 所以q=
，故a1=
．
故选B． 【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题． 6．（5分）（2009?广东）给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定． 【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．
【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，
那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确． ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确． ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确． ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．
故选：D．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题． 7．（5分）（2009?广东）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，则b=（ ） A．2 B．4+2 C．4﹣2 D．﹣ 【考点】正弦定理． 【专题】解三角形．
【分析】先根据三角形内角和求得B的值，进而利用正弦定理和a的值以及sin75°的值，求得b．
【解答】解：如图所示．在△ABC中， 由正弦定理得：∴b=2． 故选A
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=4，
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用与已知三角形的两角与一边，解三角形；已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形；运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系． 8．（5分）（2009?广东）函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是（ ） A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】若求解函数f（x）的单调递增区间，利用导数研究函数的单调性的性质，对f（x）求导，令f′（x）＞0，解出x的取值区间，要考虑f（x）的定义域． 【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，求f（x）的单调递增区间，令f′（x）＞0，解得x＞2，故选D．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性的这一性质，值得注意的是，要在定义域内求解单调区间．
9．（5分）（2009?广东）函数y=2cos2（x﹣
）﹣1是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为
的奇函数 D．最小正周期为
的偶函数
【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断． 【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性． 【解答】解：由y=2cos2（x﹣
）﹣1=cos（2x﹣
）=sin2x， ）﹣1是奇函数．
∴T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x﹣
故选A．
【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，函数奇偶性的判断，是基础题． 10．（5分）（2009?广东）广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是（ ） A B C D E A 0 5 4 5 6 B 5 0 7 6 2 C 4 7 0 9 8.6 D 5 6 9 0 5
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E 6 2 8.6 5 0
A．20.6 B．21 C．22 D．23
【考点】频率分布表；统筹问题的思想及其应用的广泛性． 【专题】概率与统计．
【分析】以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有A33种结果，列举出六种结果的路途长度选出最短的路途，列出路径的长度，得到结果．
【解答】解：∵以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次， 那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有A33=6种结果， 列举出六种结果的路途长度选出最短的路途， A→B→C→D→E，总长是26， A→C→D→B→E，总长是21， A→B→D→C→E，总长是28.6， A→D→B→C→E，总长是26.6， A→C→B→D→E，总长是22， A→D→C→B→E，总长是23， 总上可知最短的路径是21． 故选B
【点评】本题考查频率分布表，考查统筹问题的思想及其应用的广泛性，考查利用统计问题解决实际问题，本题采用列举法来解题．
二、填空题（共5小题，每小题5分，第14-15题，属选做题，满分25分） 11．（5分）（2009?广东）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示： 队员i 1 2 3 4 5 6 三分球个数 a1 a2 a3 a4 a5 a6
如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 i≤6 ，输出的s= a1+a2+a3+a4+a5+a6 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）
【考点】循环结构．
【专题】算法和程序框图．
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广东省高考数学试卷文科答案与解析
