∴△ACE≌△ACD． ∴CD=CE．
∵在△BCE中，BE＞CE-CB， 即AB-AE＞CE-CB， ∴AB-AD＞CD-CB．
【总结升华】本题也可以延长AD到E，使得AE=AB，连结CE．涉及几条线段的大小关系时，用“截长补
短”法构造全等三角形是常用的方法． 举一反三：
【变式】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，
求证：MB－MC＜AB－AC．
【答案】
证明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，连接ME．
在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）． 在△AMC和△AME中， ∴△AMC≌△AME（SAS）．
∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC．
4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．
【思路点拨】在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再证得∠COF=∠COD，
则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得结论． 【答案与解析】在AC上取AF=AE，连接OF，
∵AD平分∠BAC、 ∴∠EAO=∠FAO， 在△AEO与△AFO中，
?AE?AF?∵?∠EAO?∠FAO ?AO?AO?∴△AEO≌△AFO（SAS）， ∴∠AOE=∠AOF； ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB， ∴∠ECA+∠DAC=1（180°-∠B）=60° 2则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°； ∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（对顶角相等） 则∠COF=60°， ∴∠COD=∠COF， 又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO， ∴△FOC≌△DOC（ASA）， ∴DC=FC， ∵AC=AF+FC， ∴AC=AE+CD． 【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 类型三、综合运用
5 （2015?泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC． 求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．
【思路点拨】（1）由等边三角形的性质可写出结论．
（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可． 【答案与解析】 证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD． ∵四边形BCDE是平行四边形， ∴ED∥BC，ED=BC．
∵点E是AC的中点，∠ABC=90°， ∴AG=BG，DG⊥AB． ∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD． ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°． 又BF=BC， ∴BF=DE．
∴在△AED与△DFB中，∴△AED≌△DFB（SAS）， ∴AE=DF，即DF=AE；
（2）设AC与FD交于点O． ∵由（1）知，△AED≌△DFB， ∴∠AED=∠DFB， ∴∠DEO=∠DFG．
∵∠DFG+∠FDG=90°， ∴∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．
，
【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 举一反三：【高清课堂：全等三角形 例9】
【变式】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD； ② △ADC是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB； ④ CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( ) ． A．1个
A
B．2个
B
C．3个 D．4个
【答案】D.
C
F G D E
6．如图，已知△ABC.
（1）请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； （2）请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．
【思路点拨】考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键． 【答案与解析】
（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面积相等.
（2）取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF．
在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO, 可证△ADO≌△FEO． 所以AD=FE．
因为BD=CE，DO=EO， 所以BO=CO.
同理可证△ABD≌△FCO， 所以AB=FC.
延长AE交CF于G点,
在△ACG中，AC+CG＞AE+EG， 在△EFG中，EG+FG＞EF,
可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF, 即AC+CF＞AE+EF, 所以AB+AC＞AD+AE.
【总结升华】正确构造全等和利用三角形的任意两边之和大于第三边的结论是关键. 举一反三：
【变式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】
(1)证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，
初中数学中考总复习：全等三角形--知识讲解
