图1-42(b)所示。设A、B两板间的电场可以看作是均匀的，且两板外无电场。在每 个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定的。两板右侧放一记录圆筒， 筒的左侧边缘与极板右端距离 b=0.15m,简绕其竖直轴匀速转动，周期T=0.20S,筒 的周长S=0.20m筒能接收到通过A、B板的全部电子。
又与入射速度v0有关。题图(b)给出了加在A、B两板间的电压u随时间变化的u-t 图线从所给的u-t图线可以看出，加在A、B两板间的电压u是依锯齿形规律随时间 变化的，不是恒定电场。但题目说明“ A、B间的电场可看作是均匀的，且两板外无 电场。在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定”。故在计算各个 时刻电子在穿越电场区域产生偏转时，电场可作为恒定电场来处理。因而电子在 A、
B间是做抛物线运动：沿中心线方向，电子做匀速运动，速度为 v0;沿垂直中心线 方向，电子做匀加速运动，初速度为零，加速
yf cn '■
J
度並敘如呆在九B两金敲间电压加值超过某一极限值吩 md
则电子在穿越A B间的电场区域之前就要落到 A或B板上而不能从A B间的 电场区射出，极限电压uc由电子射出A、B间电场时的极限偏转
広)
EJ1-42
(1) 以 t=0时(见图(b)此时u=0)电子打到圆筒记录纸上的点作为 xy坐标系的原 点，并取y轴竖直向上，试计算电子打到记录纸上的最高点的 y坐标和x坐标(不计 重力作用)。
(2) 在给出的坐标纸(如图(c))上定量地画出电子打到记录纸上的点形成的图 线。
【分析思路】
本题要分为加速、偏转、放大和扫描四个阶段。
由①、②两式联立求得极限电压
2U。护
加速阶段：从电极K发出的电子的初速度为0，设经加速电场后由小孔S沿中 心线射入A、B两水平金属板的初速度为v0,则由能量关系得
(
I2
如啦二呱
其中m e分别为电子的质量和电量，U0为加速电压。
①
以题给数据代入，得uc=20V,这个结果说明只有在 A、B两板间的电压u小于 极限电压uc=20V时，才有电子从A、B间的电场区域射出。
放大阶段：电子刚从A、B两板间的电场区域射出时，最大偏转为
2 —般是比较小饥为了提高测量精度，我们把记录圆筒放在离开九
偏转阶段：电子以v0沿A、B两水平金属板的中心线射入后，由于受到垂直于 A、B板的匀强电场作用，电子将发生偏转，偏转的情况既与 A、B间电场强度有关,
B板一段距离b处。这样，电子打在记录圆筒上的偏转距离就被放大了，与极 限电压相应的电子射出A、B两板间电场区时的y方向分速度
射出电场区后，电子做匀速直线运动，它打到记录圆筒上的偏转，即打到记录 纸 上的最大y坐标可由下式求得 由①、③、④式及题给数据可求得
+ 1 2
—bd d _ y 二 2.5cm = 一 7
扫描阶段：如果记录电子偏转的工具是一个不动的固定记录屏，则不同时刻的 电子打在屏的记录纸上的位置是在一条与竖直方向平行的直线上。也就是说，在固 定屏上记录到的是 一条与y轴（即竖直方向）平行的直线痕迹。为了能显示出不同时 刻电子的偏转情况，我们
用一绕竖直轴匀速转动的记录圆筒来代替固定的记录屏。
由于圆筒的匀速转动，不同时刻打到圆筒的记录纸上的 x坐标是不同的。若取x轴 与竖直的转动轴垂直，以
t=0时电子打到圆筒记录纸上的点作为 xy坐标系的原点， 则t时刻打到记录圆筒上的
x坐标为 At = —To=O.02S ?
其中T为记录圆筒的转动周期，S为记录圆筒的周长。
从题中图（b）中可以看出，加在A、B两板间的电压u随时间t是做周期性变化 的，周期
T0=0.1S,在每个周期T0内，只有电压u小于极限电压uc=20V的时候才
有电子射出。因此在每个周期TO内，只有在开始一段时间间隔At内有电子通过A、 B两板间的电场区，根据题给条件，记录圆筒能接收到通过电场区的全部电子，因 此在每个周期TO内，只有在开始一段时间△ t内有电子打到记录纸上从题图（b））可 以看出这段时间△ t等于
At ■ —%T
o ■ 0.02S
其中um是加在A、B两板间的最大偏转电压。
为了求出电子在记录圆筒上的记录纸上打出的痕迹，我们先讨论电子打在记录 纸上的最低点的坐标。题给的偏转电压具有周期性，故最低点不止一个，根据题中 关于坐标原点与起始记录时刻的规定，以及加在 A、B两板间的偏转电压u与时间t 的关系曲线可知第一个最低点的x, y坐标为
x1L=0cm y1L=0cm
第二个最低点的坐标为
y2L=0cm
第三个最低点的x，y坐标为
由于记录圆筒的周长S=20cm所以每三个最低点已与第一个最低点重合，即记 录纸上记录到的电子打到痕迹的最低点只有两点，它们的坐标分别为
（0，0）和 （10, 0 ）。 同样可求痕迹最高点的坐标，显然痕迹最高点相应于偏转电压为 uc的偏转点，
因此第一个最高点的 x，y坐标为 =s=2cm
T
71H =bd d + 25cm T 2 =
第二个最高点的x，y坐标为
二
12cm
y2H=2.5cm
第三个最高点也与第一个最高点重合，即记录纸上记录到电子打到痕迹的最高 点 也只有两点，它们的坐标分别为（2，2.5）和（12，2.5） o
对于介于0到极限值uc之间的偏转电压u，在记录纸上记录到电子痕迹的偏转 量y，由图1-43中可得到
式中△、vy分别是电子射出电场区时沿竖直方向的偏转量和分速度:
A=|a（丄）詁号（丄），
2 2 md
1 eul
以①、⑨、⑩式代入⑧式，并化简即得到记录纸上的偏转量 y等于
可见由于电子在A、B两板间的匀强电场中沿竖直方向的加速度
与皿 B两板间的偏转电压誠正化就WIJ记录纸上 md
的电子沿竖直方向的偏转量y与该电子射入A B两板间的电场时，加在 A、B 两板间的
偏转电压u成正比，这样就得出结论，在偏转电压的每个周期内，电子在 记录纸上形成的痕迹是一条连接该周期内的最低点和最高点的直线。
从上面的分析可以看出，本题涉及的电子通过加速电场和偏转电场等内容都是 学生熟悉的，有新意的地方在于，把常见的固定电子接收屏改为转动的记录圆筒， 加进了扫描因素，这样就构成了一个情境较新的题目，需要灵活地运用所学知识， 独立地进行分析讨论。 【解题方法】 运动的合成与分解、牛顿第二定律、运动学公式、较强的空间
想象能力。
【解题】 （1）计算电子打到记录纸上的最高点的坐标 设v0为电子沿A、B板的中心线射入电场时的初速度，则
、
=+= Zcm T2
bd d
电子在中心线方向的运动为匀速度运动，设电子穿过
A、B板的时间为tO,则
从题图给的u-t图线可知，加于两板电压u的周期T0=0.10S, u的最大值 um=100V
电子在垂直于A、B板方向的运动为匀加速直线运动。对于恰能穿过 A、B板的 电子，在它通过时加在两板间的电压 uc应满足
联立①、②、③式解得
U厂 20V,
此电子从A B板射出时沿y方向的分速度为
叫
% =7
- ti
md (
以后，此电子做匀速直线运动，它打到记录纸上的最高点，设纵坐标为 图1-42可得
由以上各式解得
y，由因为ucvum，在一个周期TO内，只有开始的一段时间△ t内有电子通过 A、B板
因为电子打在记录纸上的最高点不止一个，根据题中关于坐标原点与起始记录 时刻的规定，第一个最高点的x坐标为
T
s = 2cm
第二个最高点的x坐标
第三个最高点的x坐标
由于记录圆筒的周长为20cm所以第三个已与第一个最高点重合，即电子打到 记录纸上的最高点只有两个，它们的 x坐标分别由⑧和⑨表示。
(2)电子打到记录纸上所形成的图线，如图 1-44所示
带电粒子在电场中的运动知识点总结
