规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系
x2y23
典例6 (12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，ab2
1??且点?3，?在椭圆C上．
2??(1)求椭圆C的方程；
x2y2
(2)设椭圆E：2＋2＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，
4a4bB两点，射线PO交椭圆E于点Q.
|OQ|①求的值；②求△ABQ面积的最大值．
|OP|
3
已知离心率e＝
222―2→ 审题路线图 (1)椭圆C上点满足条件―→得到a，b的关系式――――――a＝b＋c基本量法求得椭圆C的方程
|OQ|P，Q(2)①P在C上，Q在E上――→设坐标代入方程―→求出 共线|OP|
通法②直线y＝kx＋m和椭圆E的方程联立――→研究判别式Δ并判断根与系数的关系 利用①得―→用m，k表示S△OAB―→求S△OAB的最值S――――――――→得S△ABQ的最大值
△ABQ和S△OAB的关系
规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 1
1a－b3解 (1)由题意知2＋2＝1.又＝， a4ba23解得a＝4，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y＝1.2分 4(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1. 1642222x22第一步 求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程. 第二步 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：Ax＋Bx＋C＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系得等式. 第三步 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系. 第四步 建函数：对范围最值22x2y2|OQ|①设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0). |OP|x?－λx0??－λy0?λ2因为＋y0＝1，又＋＝1，即41644|OQ|所以λ＝2，即＝2.5分 |OP|20222?x＋y2??40?＝1， ??20②设A(x1，y1)，B(x2，y2).将y＝kx＋m代入椭圆E的方程， 可得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－16＝0， 由Δ>0，可得m<4＋16k，(*) 8km4m－16则x1＋x2＝－2，x1x2＝2. 1＋4k1＋4k416k＋4－m所以|x1－x2|＝. 21＋4k因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)， 1216k＋4－m|m|所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝ 221＋4k2?16k＋4－m?m＝＝221＋4k设222222222222类问题，要建立关于目标变量的函数关系. 第五步 ?4－m2?m.8分 ?1＋4k?1＋4k2??22m21＋4k2＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程， 222得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最2可得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0， 由Δ≥0，可得m≤1＋4k.(**) 由(*)(**)可知0 |OQ|(2)第(2)问中，求时，给出P，Q的坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处 |OP|扣1分；联立方程消元得出关于x的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分； 2 222 求最值时，不指明最值取得的条件扣1分． 跟踪演练6 (2018·全国Ⅰ)设抛物线C：y＝2x，点A(2，0)，B(－2,0)，过点A的直线l2 与C交于M，N两点． (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明：∠ABM＝∠ABN. (1)解 当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)． 所以直线BM的方程为y＝12x＋1或y＝－1 2x－1. 即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0. (2)证明 当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线， 所以∠ABM＝∠ABN. 当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0. 由???y＝k?x－2?， 2 ?－2y－4k＝0， ?y2 ＝2x， 得ky显然方程有两个不等实根． 所以y2 1＋y2＝k，y1y2＝－4. 直线BM，BN的斜率之和ky1＋x1y2＋2?y1＋y2? BM＋ky1y2 x2BN＝ x＋x＝1＋22＋2 ?x.① 1＋2??x2＋2? 将xy1 y21＝k＋2，x2＝k＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子， 可得x1y2＋4k?y1＋y2?2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝ 2yk＝－8＋8 k＝0. 所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补， 所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN. 一分，小共题（读阅本文类述论）念理活生范规和导指助辅为涵内化定特了入融渐逐后以段阶级初验经累积炼提中从这知官感界然自于源来多更识认前之成形会社在。程过史展发明文是也，究研的彩色对类人成形渐逐中程过展发明文俗追衷热各又落部代同不统传教宗境环理于后此四共通白天有具壳贝骨兽加再黄壤大黑化碳由红里液、粉矿铁赤单简来得按直界然自从限局只所民初始原的时那但等志标腾困动彩器陶量力求祈体身抹血鲜或土赭以；面场猎狩和物猜绘涂上壁岩窟洞如。了色颜用使地能本就前之纪世河冰在类人，实证究研古考据 3
2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系学案 文
