基本不等式求最值的策略

基本不等式求最值的策略

例谈用基本不等式求最值的四大策略

摘要

a?b?ab（a?0,b?0当且仅当a?b时等号成立）是高中必2修五《不等式》一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题的强有力工具。本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。

基本不等式

关键字：基本不等式 求和与积的最值 策略 一、 基本不等式的基础知识[1]

基本不等式：

a?b?ab，当且仅当a?b时等号成立。 2在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点： “一正”：a、b是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。 “二定”：当两正数的和a?b是定值时，积ab有最大值；当两正数的积ab是定值时，和a?b有最小值。

a?b“三相等”： a?b是?ab的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要

2注意等号成立的条件是否一致。

二、 利用基本不等式求最值的四大策略

策略一 利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构

通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。 题型一 配凑系数

3例1 设0?x?，求函数y?4x(3?2x)的最大值。

2如果a?0,b?0，则

分析：因为4x?(3?2x)?3?2x不是个定值，所以本题无法直接运用基本不等式求解。但凑系数将4x拆为2?2x后可得到和2x?(3?2x)?3为定值，从而可利用基本不等式求其最大值。

3解：因为0?x? ，所以 3?2x?0

22x?3?2x?9故y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2????

22??2当且仅当2x?3?2x,即x?所以原式的最大值为

3?3???0,?时等号成立. 4?2?9. 2

＝ab?11?a(a?b)?≥2＋2＝4 aba(a?b)2，式子2当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立，如取a＝2,b＝取得最小值4. 故选择答案D

策略二 遇到分式，可尝试分离后再用基本不等式

题型一：配凑分子，分离分式

对于分子次数比分母高的分式不等式，可尝试先对分子进行配凑，使之出现与分母相同的项，然后分离得到可用基本不等式求解的结构。

x2?2x?2(x?1)的最小值。[2] 例4 求y?x?1分析：可先将分子配凑出含有x-1的项，再将其分离。 解：因为x?1，所以x?1?0

x2?2x?2(x?1)2?11??x?1??2 所以

x?1x?1x?1当且仅当x?1?1时，也就是x?2时取等号. x?1所以y的最小值为2.

题型二：同除分子，分离分母

对于分母次数比分子高的分式不等式，可尝试上下同除以分子，使分母出现互倒的结构，再用基本不等式求最值。

x例5 求y?2的值域.

x?9分析：题目没有交代x的取值范围，此题需要分类讨论。 解：当x?0时，分子分母同除以x,则

y?x?x2?919x?x

（1） 当x?0时，有x?1x?9x99?2x??6， xx所以y??1, 当且仅当x?3时，等号成立 6（2） 当x?0时，有??x??999?2(?x)??6，所以x???6， ?x?xx

故y?1??，当且仅当x??3时，等号成立 96x?x1当x?0时，y?x=0 2x?9?11?综上可知，y的取值范围是??，?

?66?策略三 遇到根式，可尝试平方后再用基本不等式

15例6 求函数y?2x?1?5?2x(?x?)的最大值.

22分析：观察式子的结构，可以看到(2x?1)?(5?2x)?4是个定值，所以将式子平方后，便可构造出可用基本不等式的结构。 解：将两y?2x?1?5?2x边平方，得

y2?(2x?1?5?2x)2?4?2(2x?1)(5?2x)?4?(2x?1)?(5?2x)?8 又因为y>0，所以0?y?22

3当且仅当2x?1?5?2x，即x?时，取等号.

2所以y的最大值是2.

策略四 利用1的性质，合理代换后再用基本不等式

“1”是一个特殊的数，任何式子乘以1，式子仍不变。所以如果题目条件给出某个式子的值为1，则可在要求最值的式子上乘以这个式子，从而构造出可用基本不等式的形式。 例7 设xy?0，且

11??1，求x?y的最小值. xy分析：由于式求最值. 解：由于

?11?11yx??1，所以x?y=?????x?y?2??，故可用基本不等?xy?xyxy???11?11yx??1，所以x?y=?????x?y?2?? ?xy?xyxy??xyyxyx?0和?0，故??2??2 yxxyxy又由于xy?0，所以x和y同号，故所以x?y=2?yx??2?2?4， xy