由图看 ?OAB??2?? （4）
由以上各式得 vM??Hsin? （5）
练习16
解析 根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解. （1）物质在某时刻t末的速度为vt?at 2t末的速度为v2t?vt?2at,所以v2t?at?2at 3t末的速度为v2t?v2t?3at?at?2at?3at ??
则nt末的速度为vnt?v(n?1)t?nat
?at?2at?3at???(n?1)at?nat?at(1?2?3???n) 11?at?(n?1)n?n(n?1)at
22 （2）同理：可推得nt内通过的总路程s?练习17
解析 小球从h0高处落地时，速率v0?1n(n?1)(2n?1)at2. 122gh0?60m/s
第一次跳起时和又落地时的速率v1?v0/2 第二次跳起时和又落地时的速率v2?v0/22
第m次跳起时和又落地时的速率vm?v0/2m
2hv12h0v2每次跳起的高度依次h1?， ?2,h2??042gn2gn
通过的总路程?s?h0?2h1?2h2???2hm??
2h0111(1?????)??2242m?2nnnn 22hn?15?h0?20?h0?2?h0?300mn?1n?13?h0?经过的总时间为?t?t0?t1?t2???tm??
v02v12v????m??gggv11?0[1?2????2?()m??]gnn
v0n?1?()gn?13v?0?18sg?练习18
解析 该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。设某一时间人经过AB处，再经过一微小过程△t（△t→0），则人由AB到达A′B′，人影顶端C点到达C′点，由于△SAA′=v△t则人影顶端的移动速度vC?lim?SCC??t?0?tH?SAA?Hv ?limH?h??t?0?tH?h可见vc与所取时间△t的长短无关，所以人影的顶 端C点做匀速直线运动. 练习19
解析 此题可根据万有引力提供行星的向心力求解.也可根据开普勒第二定律，用微元法求解.设行星在近日点A时又向前运动了极短的时间△t，由于时间极短可以认为行星在△t时间内做匀速圆周运动，线速度为vA，半径为a，可以得到行星在△t时间内扫过的面积
1vA?t?a 同理，设行星在经过远日点B时也运动了相同的极短时间△t， 21则也有 Sb?vB?t?b 由开普勒第二定律可知：Sa=Sb
2a即得 vB?vA 此题也可用对称法求解.
b Sa?练习20 如图3—11所示，小环O和O′分别套在不动的竖直杆AB和A′B′上，一根不可伸长的绳子穿过环O′，绳的两端分别系在A′点和O环上，设环O′以恒定速度v向下运动，求当∠AOO′=α时，环O的速度.
解析：O、O′之间的速度关系与O、O′的位置有关，即与α 角有关，因此要用微元法找它们之间的速度关系.
设经历一段极短时间△t，O′环移到C′，O环移到C，自C′ 与C分别作为O′O的垂线C′D′和CD，从图中看出.
OC?ODO?D?OD?O?D?,O?C?? 因此OC+O′C′= ① cos?cos?cos?因△α极小，所以EC′≈ED′，EC≈ED， 从而OD+O′D′≈OO′－CC′ ②
由于绳子总长度不变，故 OO′－CC′=O′C′ ③ 由以上三式可得：OC+O′C′=
O?C?1?1) 即OC?O?C?(cos?cos?
等式两边同除以△t得环O的速度为 v0?v(1?1) cos?练习21
解析（1）第一次，第二次碰撞如图12—1—甲所示，由三角形的外角等于不相邻的一两个内角和可知?MBA?60??1??61?，故第一次碰撞的入射角为90??61??29?. 第二次碰撞，?BCA?61??1??62?，故第二次碰撞的入射角为90??62??28?.
因此每碰一次，入射角要减少1°，即入射角为29°、28°、?、0°，当入射角为0°时，质点碰后沿原路返回. 包括最后在A处的碰撞在内，往返总共60次碰撞.（2）如图所示，从O依次作出与OB边成1°、2°、3°、??的射线，从对称规律可推知，在AB的延长线上，BC′、C′D′、D′E′、??分别和BC、CD、DE、??相等，它们和各射线的交角即为各次碰撞的入射角与直角之和. 碰撞入射角为0°时，即交角为90°时开始返回. 故质点运动的总路程为一锐角为60°的Rt△AMO的较小直角边AM的二倍. 即s?2AM?2AO?cos60??10m 所用总时间t?s10??2s v5（3）碰撞过程中离O的最近距离为另一直角边长OM?AO?sin60??53m
练习22
解析 虽然蚂蚁的运动我们不能直接用已学过的运动学公式求解，但只要能找到描述蚂蚁运动的公式和学过的公式的形式相同，便可借助学过的公式形式使问题得以解决. 由已知得：蚂蚁在距离巢中心△处的速度为v?k1，代入已知得：Lk?vL?0.2?1?0.2m2/s，所以当L2?2m时,其速度v2?由速度的定义得蚂蚁从L到L+△L所需时间为△t 所以?t?k?0.1m/s L2?L1???L?L ① vk类比初速v0?0的匀加速直线运动的两个基本公式???s?v?t
?v?at在t到△t时刻所经位移?s为 ?s?a??t?t ② 比较①、②两式可以看出两式的表述形式相同.
据此，可得蚂蚁问题中的参量t和L分别类比为初速为零的匀加速直线运动中的s和t.而相当于加速度a，于是可得：在此蚂蚁问题中t?1k112??L 2k12?t?L??12k1令t1对应L1，t2对应L2，则所求时间为?
1?t?L222?2k?代入已知可得从A到B所用的时间为
1212221?t?t2?t1?L2?L1???7.5s
2k2k2?0.22?0.2练习23
解析 从A到B的整个运动过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线运动，
而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速直线运动等效代替，则此运动就可以求解.
因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为
a平?a初?a末2a?a??(n?1)a3an?a(3n?1)an ??22n2n22由匀变速运动的导出公式得2a平L?vB ?v0解得 vB?
2v0?(3n?1)aL n
全国高中物理竞赛运动学训练题答案
