2019年数学中考：第六讲 第1课时 几何图形中的动点问题

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第六讲 运动型问题

第1课时 几何图形中的动点问题

(58分)

一、选择题(每题6分，共18分)

1．[2017·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S

△PAB

1

＝3S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为( D )

C.52

D.41

A.29 B.34

图6－1－1 第1题答图

111

【解析】 令点P到AB的距离为h，由S△PAB＝3S矩形ABCD，得2×5h＝3×5×3，解得h＝2，动点P在EF上运动，如答图，作点B关于EF的对称点B′，BB′＝4，连结AB′交EF于点P，此时PA＋PB最小，根据勾股定理求得最小值为52＋42＝41，选D.

2．如图6－1－2，在矩形ABCD中，AB＝2a，AD＝a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2＝y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是

( D )

图6－1－2

【解析】 ①当0≤x≤2a时，∵PD2＝AD2＋AP2，AP＝x，∴y＝x2＋a2；②当2a＜x≤3a时，CP＝2a＋a－x＝3a－x，∵PD2＝CD2＋CP2，∴y＝(3a－x)2＋(2a)2＝x2－6ax＋13a2；③当3a＜x≤5a时，PD＝2a＋a＋2a－x＝5a－x，

?2

2

∴PD＝y＝(5a－x)，y＝?x－6ax＋13a（2a

?（x－5a）2（3a

2

2

x2＋a2（0≤x≤2a），

的函数关系的图象是选项D中的图象．

3．如图6－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，以23为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG

图6－1－3

沿AB的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是

( A )

【解析】 首先根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，分别求出AC，BC，以及AB边上的高线各是多少；然后根据图示，分三种情况：①当0≤t≤23时；②当23＜t≤6时；③当6＜t≤8时，分别求出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S的表达式，进而判断出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是哪个即可．

??

S＝?2t－23（23

23?－?3t＋（2＋83）t－262

32

6t（0≤t≤23），

3（6

二、解答题(共20分)

4．(20分)[2017·无锡]如图6－1－4，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连结CP，作点D关于直线PC的对称点E.设点P的运动时间为t(s)． (1)若m＝6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．

(2)已知m满足：在动点P从点D到点A的整个过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3.求所有这样的m的取值范围．

图6－1－4

【解析】 (1)如答图①，P，E，B三点在同一直线上，连结EC.①在Rt△BEC中，计算BE的值；②在Rt△ABP中，利用勾股定理列出关于t的方程，解出t值即可求；

(2)如图②，P，E，B三点在同一直线上，连结EC，过点E作EF⊥BC于F.①在Rt△EFC中，利用勾股定理求出CF；②利用相似三角形的判定与性质求得BF；③根据m＝BC＝BF＋CF计算m的值．

解：(1)如答图①，P，E，B三点在同一直线上，连结EC. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC. ∵PD＝t，m＝6，∴PA＝6－t. ∵点D，点E关于直线PC对称．

∴PE＝t，EC＝DC＝AB＝4，∠CEP＝∠CDP＝90°. 在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝4， ∴BE＝BC2－EC2＝62－42＝25.

第4题答图①

在Rt△ABP中，∵AB2＋AP2＝BP2，即42＋(6－t)2＝(25＋t)2， 解得t＝6－25.

(2)如答图②，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3.

作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M.则EQ＝3，CE＝DC＝4.易证四边形EMCQ是矩形，∴CM＝EQ＝3，∠M＝90°， ∴EM＝BC2－CM2＝7，

∵∠DAC＝∠EDM，∠ADC＝∠M，

ADDCAD4∴△ADC∽△DME，∴DM＝EM，即7＝，

7∴AD＝47.

第4题答图② 第4题答图③

如答图③，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3. 作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M.则EQ＝3，CE＝DC＝4. 在Rt△ECQ中，QC＝DM＝42－32＝7，由△DME∽△CDA， DMEM7147∴CD＝AD，即4＝AD，∴AD＝7，

综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，47

使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围是7≤m＜47. 5．(20分)[2017·丽水]如图6－1－5，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部．连AD结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设AE＝n.

图6－1－5

(1)求证：AE＝GE；

AD

(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示AB的值；

(3)若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值． 【解析】 设AE＝a，则AD＝na.(1)由轴对称性质得到AE＝FE，结合“等边对等角”得到∠EAF＝∠EFA.由垂直得到两个角的互余关系，根据“等角的余角相等”可得到结论；

(2)由对称性质得BE⊥AF，先证∠ABE＝∠DAC，进而证得△ABE∽△DAC，根据相似三角形的对应边成比例建立关系式，通过适当变形求解； (3)由特例点F落在线段BC上，确定n＝4，根据条件点F落在矩形内部得到n＞4，判断出∠FCG＜90°.然后分∠CFG＝90°和∠CGF＝90°两种情况，由(2)的结论和相似三角形的性质分别建立关于n的等式，求得n的值． 解：设AE＝a，则AD＝na.

(1)证明：由对称得AE＝FE，∴∠EAF＝∠EFA. ∵GF⊥AF，∴∠EAF＋∠FGA＝∠EFA＋∠EFG＝90°. ∴∠FGA＝∠EFG，∴FG＝EF，∴AE＝GE. (2)当点F落在AC上时(如答图①)，由对称得BE⊥AF， ∴∠ABE＋∠BAC＝90°， ∵∠DAC＋∠BAC＝90°， ∴∠ABE＝∠DAC. 又∵∠BAE＝∠D＝90°， ABAE∴△ABE∽△DAC，∴DA＝DC. ∵AB＝DC，∴AB2＝AD·AE＝na·a＝na2.

ADna∵AB＞0，∴AB＝na，∴AB＝＝n.

na

n

(3)若AD＝4AB，则AB＝4a.当点F落在线段BC上时(如答图②)，EF＝AE＝

第5题答图①

n

AB＝a.此时4a＝a，

∴n＝4.∴当点F落在矩形内部时，n＞4. ∵点F落在矩形的内部，点G在AD上， ∴∠FCG＜∠BCD，∴∠FCG＜90°.

第5题答图②

第5题答图③

AD①若∠CFG＝90°，则点F落在AC上，由(2)得AB＝n，∴n＝16. ②若∠CGF＝90°(如答图③)， 则∠CGD＋∠AGF＝90°. ∵∠FAG＋∠AGF＝90°， ∴∠CGD＝∠FAG＝∠ABE， ∵∠BAE＝∠D＝90°，

ABAE∴△ABE∽△DGC.∴DG＝DC，

?n?2

∴AB·DC＝DG·AE，即?4a?＝(n－2)a·a，

??

解得n1＝8＋42，n2＝8－42＜4(不合题意，舍去)．∴当n＝16或8＋42时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．

(20分)

6．(20分)[2017·菏泽]如图6－1－6，正方形ABCD的边长为6 cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连结AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.

(1)如图①，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；

(2)如图②，若点M从点D出发，以1 cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以2 cm/s的速度沿BD向点D运动，设运动时间为t s. ①设BF＝y cm，求y关于t的函数表达式； ②当BN＝2AN时，连结FN，求FN的长．

图6－1－6

【解析】 (1)由正方形性质和垂直的性质就可以得出∠ADN＝∠BAF，利用“AAS”可以得出△ADN≌△BAF就可以得到结论AF＝MN；

ADDE

(2)①由AD∥BF可得△ADE∽△FBE，利用BF＝BE可以构造y关于t的函数6－tMAAB

表达式；②由(1)可知△MAN∽△ABF，∴AN＝BF，又∵BN＝2AN，∴2＝6

BF，用含t的代数式表示BF，结合①中的关系式，可以构造关于t的方程求出t的值，从而求出BF，最后利用勾股定理求FN 的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°. ∵MN⊥AF，∴∠DHA＝∠NHA＝90°，

∴∠ADH＋∠HAD＝90°，∠NAH＋∠HAD＝90°， ∴∠ADH＝∠NAH.在△ADN与△BAF中，

?∠ADN＝∠BAF， ?AD＝BA，∴△ADN≌△BAF， ?∠DAN＝∠ABF，

∴AF＝DN，即AF＝MN.

(2)①∵正方形的边长为6 cm，∴BD＝AB2＋AD2＝2AD＝62 cm， ∵设运动时间为t s，根据题意，得BE＝2t cm， ∴DE＝ BD－BE＝(62－2t)cm，

ADDE

∵AD∥BF，∴△ADE∽△FBE，∴ BF＝BE， 662－2t6t

∵BF＝y cm，∴y＝，即y＝，

6－t2t

∴y关于t的函数表达式为y＝

6t. 6－t

②∵BN＝2AN，AB＝6 cm，∴AN＝2 cm，BN＝4 cm，由(1)得△MAN∽△ABF，又∵DM＝t cm，AM＝(6－t)cm， 6－t6MAAB12∴AN＝BF，即2＝BF，∴BF＝，

6－t

6t126t，∴，＝ 解得t＝2， 6－t6－t6－t

6t

当t＝2时，BF＝y＝＝3 cm，在Rt△NBF中，FN＝BN2＋BF2＝42＋326－t又∵y＝＝5，

∴当BN＝2AN时，FN的长为5 cm.

(22分)

7．(22分)[2017·温州]如图6－1－7，已知线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点为C(点C 在线段BD上)，连结AC，DE. ︵

(1)当∠APB＝28°时，求∠B和CM的度数； (2)求证：AC＝AB； (3)在点P的运动过程中．

①当MP＝4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；

②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得点G，若点G恰好落在MN上，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG与△DEG的面积比．

图6－1－7

【解析】 (1)由垂直平分线的性质得到等腰△PAB，由三线合一得 ∠APM＝

1

∠BPM＝2∠APB＝14°，∠B＝90°－∠BPM＝90°－14°＝ 76°，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得∠MDB＝∠BAC ＝2∠DPM＝28°，以此求得弧CD的度数为2∠MDB＝56°； (2)由同角的余角相等，得 ∠ACB＝∠B，AC＝AB；

(3)由垂直分线的性质，分类讨论符合条件的点Q的个数，利用相似和勾股定理分别求出MQ的长度；利用旋转的性质，平行四边形的性质，锐角三角比求出各边的长度，用面积公式求出比值． 解：(1)如答图①，连结MD. ∵AB⊥MN，AM＝BM，

∴PM垂直平分线段AB，∴PA＝PB，

1

在等腰三角形PAB中，∵∠APB＝28°，∴∠APM＝∠BPM＝2∠APB＝14°， ∴∠B＝90°－∠BPM＝90°－14°＝ 76°， 在Rt△MPB中，点D为斜边BP的中点， ∴DM＝DP，∴∠MPD＝∠DMP＝14°， ∴∠MDB＝∠BAC ＝2∠DPM＝28°， ︵

∴CM的度数＝2∠MDB＝56°； (2)证明：由(1)可得

1

∠B＝90°－∠BPM＝90°－2∠BAC，

1

在△ABC中，∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－(90°－2∠BAC)－1

∠BAC ＝90°－2∠BAC， ∴∠ACB＝∠B, ∴AC＝AB.

第7题答图① 第7题答图②

(3)①若要满足题意，则点Q必为过点A，C，E，D的垂线与线段MN的交点，

分析图形可得只有过点C，E，D的垂线与线段MN的交点满足题意． (Ⅰ)若CQ⊥CP(如答图②点Q1)，AM＝BM＝1，MP＝4，由勾股定理，得BP＝12＋42＝17，由(1)(2)可得∠BAC＝∠APB， 又∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△PBA， ABBP417∴BC＝AB，得BC＝17， 1317

∴CP＝17. CPPQ113

由△PCQ1∽△PMB，得MP＝PB，解得PQ1＝4， 3

∴ MQ1＝4－PQ1＝4.

(Ⅱ)若QD⊥BP，由EP＝DP可知 △EPQ2≌△DPQ2(如答图②点Q2)，∴ EQ2⊥EP.(即过点E，D的垂线与线段MN的交点重合) ∵点D为线段BP的中点，且Q2D⊥BP， ∴Q2D垂直平分线段BP，则Q2P＝Q2B，

设Q2M＝x，则Q2B＝Q2P＝4－x, 由勾股定理，得BM2＋M2Q2＝B2Q2，12＋18

x2＝(4－x)2，解得x＝5. (Ⅲ)若AC⊥CQ(如答图②点Q3)， ∵∠ACQ3＝90°，∴Q3A为该圆的直径， ∴点Q3为MP与圆的交点，

∵∠MAC＝∠MQ3C＝2∠MPC，∠MQ3C＝∠MPC＋∠Q3CP，∴PQ3＝ CQ3， 设MQ3＝x，则PQ3＝4－x，AC＝AB＝2， ∵A3Q2＝AM2＋M3Q2＝AC2＋C3Q2， 19∴12＋x2＝22＋(4－x)2，解得x＝8. 31519

综上所述，MQ的值为4或8或8.

②如答图③，过点E作AP的中垂线，交MP于点K.过点C作CJ⊥AB于点J，连结AK，KE，DM.

∵点M，D分别为AB，BP的中点，∴MD为

第7题答图③

△ABP的中位线， ∴MD∥AP，AM＝DF.

又∵AM∥ED，∴四边形MAED为平行四边形， ∴AM＝DE，∠MDE＝∠MAP，∴DE＝DF， ∵△GHE≌△GHD，∴ GE＝GD，

∴GE＝GD＝DE＝DF，则△GDE为正三角形，∠GDE＝60°. 1∵∠EDF＝90°－60°－30°，∴∠DEF＝2(180°－∠EDF)＝75°， ∴∠APM＝15°，则∠AKM＝2∠APM＝30°，

PM2＋3∴MK＝3，AK＝KP＝2，tan75°＝tan∠MAP＝MA＝1＝2＋3， ∴tan∠MAP＝tan∠HEP＝tan75°＝2＋3，

13∵EH为△AMP的中位线，∴EH＝2，GH＝2，

PH1

∴tan∠HEP＝EH＝2＋3，HP＝2(2＋3)，∴MG＝1，

11

∵∠MAC＝2∠MPA＝30°，AM＝1，CJ＝2AC＝2AB＝1，

33

∴MI＝3，IG＝1－3，AJ＝3，

3－111?11333?

?1－?×3＝∴S△ACG＝2IG·AJ＝2×，SGH＝×1×＝ △EDG＝ED·22224，3??3－1

26－23S△ACG

∴S＝＝3. △DEG3

4