§1.3.1函数的单调性与导数（第1课时）
教学目标：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；
教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 教学过程设计
（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】黑暗中，你是怎样通过远处汽车自身的灯光判断该车是上坡还是下坡的？
(二)、探究新知，揭示概念
探究1．问题：图1.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)??4.9t?6.5t?10的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)?h(t)??9.8t?6.5的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
'2
通过观察图像，我们可以发现：
（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数．相应地，
v(t)?h'(t)?0．
（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数．相应地，
v(t)?h'(t)?0．
探究2．2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
'如图1.3-3，导数f(x0)表示函数f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率．
猜想：导数与函数的单调性有什么联系呢？
'在x?x0处，f(x0)?0，切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在x0附近单调递增； '在x?x1处，f(x0)?0，切线是“左上右下”式的，这时，函数f(x)在x1附近单调递减．
（三）、分析归纳，抽象概括 函数的单调性与导数的关系
曲线 切线斜率k>0 上升
函数y?f(x) f?(x)?0 ？ 递增
(x?I)
在某个区间(a,b)内，如果f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增； 如果f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内是常函数．
（2）“某区间”指的是定义域的子集，研究函数单调性问题“定义域优先”． （四）、知识应用，深化理解
例1．已知导函数f(x)的下列信息： 当1?x?4时，f(x)?0； 当x?4，或x?1时，f(x)?0； 当x?4，或x?1时，f(x)?0 试画出函数y?f(x)图像的大致形状．
解：当1?x?4时，f(x)?0，可知y?f(x)在此区间内单调递增； 当x?4，或x?1时，f(x)?0；可知y?f(x)在此区间内单调递减； 当x?4，或x?1时，f(x)?0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数y?f(x)图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）f(x)?x?3x； （2）f(x)?x?2x?3
32''''''''''
（3）f(x)?sinx?xx?(0,?)； （4）f(x)?2x?3x?24x?1 解：（1）因为f(x)?x?3x，所以， f(x)?3x?3?3(x?1)?0
因此，f(x)?x?3x在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．
3'22332
（2）因为f(x)?x?2x?3，所以， f'(x)?2x?2?2?x?1?
2当f(x)?0，即x?1时，函数f(x)?x?2x?3单调递增； 当f(x)?0，即x?1时，函数f(x)?x?2x?3单调递减； 函数f(x)?x?2x?3的图像如图3.3-5（2）所示．
（3）因为f(x)?sinx?xx?(0,?)，所以，f(x)?cosx?1?0 因此，函数f(x)?sinx?x在(0,?)单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为f(x)?2x?3x?24x?1，所以 ．
当f(x)?0，即 时，函数f(x)?x?2x?3 ； 当f(x)?0，即 时，函数f(x)?x?2x?3 ； 函数f(x)?2x?3x?24x?1的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练
32'2'232'2'2'2
课堂练习
1．求下列函数的单调区间
1.f(x)=2x－6x+7 2.f(x)=
3. f(x)=sinx , x?[0,2?] 4. y=xlnx
（五）、归纳小结、布置作业
3．求解函数y?f(x)单调区间的步骤： （1）确定函数y?f(x)的定义域； （2）求导数y?f(x)；
（3）解不等式f(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式f(x)?0，解集在定义域内的部分为减区间．
布置作业：.课本P31，习题1.3A组1；
''''3
2
1+2x x
【整合】人教A版高二数学选修2-2 第一章 第三节 1.3.1函数的单调性与导数(第1课时)(同步教案)
