所以，2xy?yz的最大值为
1。 2三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）
1113．已知f(x)?ax2?(?a)x?c，且当?1?x?1时，f(x)?恒成立。
36（1）求f(x)的解析式；
1y1)、B(x2，y2)是函数y?f(x)图像上不同的两点，（2）已知A(x1，且PA?PB。P(?1，)，
6当x1、x2为整数，x1?x2?3时，求直线AB的方程。
【解答】（1）依题意，f(0)?c?1111∴ ??c?，且??c??。
66261∴ c??。 …………………………… 4分
61此时，f(0)??，可见f(x)在区间??1，1?上的最小值为f(0)。
611∴ f(x)的对称轴为x?0，即?a?0，a?。
3311∴ f(x)?x2?。 …………………………… 8分
361111(x12?)?6?366?x1?1。同理k?x2?1。 ?PBx1?(?1)x1?133y1?111，f(1)??c?。
366（2）由（1）知，kPA∵ PA?PB， ∴ kPA?kPB?x1?1x2?1???1。 33∴ (x1?1)(x2?1)??9。 …………………………… 12分 又x1、x2为整数，且x1?x2，
?x1?1??9?x1?1??3?x1?1??1∴ ?，或?，或?。
?x2?1?1?x2?1?3?x2?1?9结合x2?3，得x1??8，x2?2。
1277∴ A、B坐标分别为A(?8，)、B(2，)。
66∴ 直线AB的方程为12x?6y?31?0。 …………………………… 16分
14．过直线l：x?y?10?0上一点P作圆C：(x?4)2?(y?2)2?4的两条切线PA、PB，
A、B为切点。
（1）在l上是否存在点P，使得?APB?120?？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）若直线AB过原点O，求点P的坐标。 【解答】（1）假设符合条件的点P存在。 则由?APB?120?，知?APC?60?。 ∵ CA?2，CA?PA， ∴ PC?4。 ……………………………… 4分 34?2?102?22，知PC?22。
另一方面，由圆心C(4，2)到直线l的距离d?即4?22，矛盾。因此，假设不成立。 3∴ 符合条件的点P不存在。 ……………………………… 8分
y0)为直线l上一点。 （2）设P(x0，则PA?PB?(x0?4)2?(y0?2)2?4。
∴ 点A、B在以P为圆心，半径为(x0?4)2?(y0?2)2?4的圆上， 即点A、B在圆(x?x0)2?(y?y0)2?(x0?4)2?(y0?2)2?4上， 即圆x2?y2?2x0x?2y0y?8x0?4y0?16?0上。
又点A、B在圆C：(x?4)2?(y?2)2?4上，即圆x2?y2?8x?4y?16?0上。 将上述两圆方程联立，消二次项，得(x0?4)x?(y0?2)y?4x0?2y0?16?0。 ∴ 直线AB方程为(x0?4)x?(y0?2)y?4x0?2y0?16?0。…………………… 12分 由直线AB过原点O知，?4x0?2y0?16?0。 联立x0?y0?10?0，解得x0??2，y0?12。
12)。 ……………………………… 16分 ∴ 点P的坐标为(?2，
15．如图，△ABC为锐角三角形，CF?AB于F，H为△ABC的垂心，M为AH的中点。点G在线段CM上，且CG?GB。
（1）求证：?MFG??GCF； （2）求证：?MCA??HAG。
【解答】（1）由条件知，BF?FC，BG?GC， ∴ B、C、G、F四点共圆。
∴ ?AFG??BCG。……………… 4 分 ∵ M为AH的中点，
∴ MF?MA?MH，?AFM??FAM。
延长AH交BC于点N。由H为△ABC的垂心知，
AMFBHGC（第15题图）
AN?BC。
∴ ?BAN??FCB。 ∴ ?AFM??BAN??FCB。
又?MFG??AFG??AFM，?GCF??BCG??FCB， ∴ ?MFG??GCF。……………………………… 8分 （2）由（1）知，?MFG??GCF。 又?FMG??CMF， ∴ △MFG∽△MCF。 ∴
MFMG。…………………… 12分 ?MCMFAMFBNHG又MF?MA， ∴
MAMG。 ?MCMAC（第15题图）
又?CMA??AMG， ∴ △MCA∽△MAG。
∴ ?MCA??MAG??HAG。 ……………………………… 16分
16．已知f(x)为定义在(??，0)?(0，??)上的奇函数，且当x?0时，
x?，0?x?2?2?2。g(x)?f(x)?a。 f(x)??x?2??x?5?1，（1）若函数g(x)恰有两个不相同的零点，求实数a的值；
（2）记S(a)为函数g(x)的所有零点之和。当?1?a?0时，求S(a)的取值范围。 【解答】 （1）如图，作出函数f(x)的草图。
由图像可知，当且仅当a?2或a??2时，直线y?a与函数y?f(x)的图像有两个不同的交点。
所以，当且仅当a?2或a??2时，函数g(x)恰有两个不相同的零点。
因此，a?2或a??2。 ………………………………… 4分 （2）由f(x)的图像可知，当?1?a?0时，g(x)有6个不同的零点。………… 8分 设这6个零点从左到右依次设为x1，x2，x3，x4，x5，x6。
则x1?x2??10，x5?x6?10，x3是方程?2?x?2?a?0的解，x4是方程2x?2?a?0的解。 ∴ S(a)??10?log2(2?a)?log2(2?a)?10?log2∵ ?1?a?0时，
2?a41??1?(，1)， 2?a2?a32?a。 …………………… 12分 2?a（第16题图）
0)。 ∴ S(a)?(?log23，0)。 ……………………… 16分 ∴ ?1?a?0时，S(a)的取值范围为(?log23，
17．设集合S是一个由正整数组成的集合，且具有如下性质：
① 对任意x?S，在S中去掉x后，剩下的数的算术平均数都是正整数； ② 1?S，901?S，且901是S中最大的数。
求S的最大值。（符号S表示集合S中元素的个数） 【解答】依题意，设S??x1，x2，x3，，xn?，且1?x1?x2?x3?记X?x1?x2?x3??xn，ai??xn?901。
X?xi，则ai?N*，其中i?1，2，3，…，n。 n?1X?x1X?xkxk?x1xk?1????N*。………… 5分 n?1n?1n?1n?1∴ 对任意2?k?n，有a1?ak?∴ 对任意2?k?n，(n?1)(xk?1)。 又xk?xk?1?(xk?1)?(xk?1?1)， ∴ 任意2?k?n，(n?1)(xk?xk?1)。 ∴ 任意2?k?n，(xk?xk?1)?n?1。 于是，xn?x1?(xn?xn?1)?(xn?1?xn?2)?即901?1?(n?1)2，(n?1)2?900。
∴ n?31。 ………………………………… 10分 另一方面，令xi?30i?29，i?1，2，3，…，31，则S??x1， x2，x3，，x31?符合要求。∴ n的最大值为31，即S的最大值为31。 …………………………… 14分
?(x2?x1)?(n?1)?(n?1)? ?(n?1)?(n?1)2。
2019年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
