2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月14日上午8：30－11：00）
一、选择题（每小题6分，共36分）
x?2???0，x?Z?，则集合A中所有元素的和为（ ） 1．已知集合A??xx?3??A．?1 B．0 C．2 D．3 【答案】 B 【解答】由
x?2?0，得?2?x?3。又x?Z。因此A???2，?1，，，012?。 x?3所以，集合A中所有元素的和为0。
2．已知正三棱锥A?BCD的三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直，若三棱锥A?BCD外接球的表面积为3?，则三棱锥A?BCD的体积为（ ）
4211 A． B． C． D．
3369A【答案】 C
【解答】设AB?AC?AD?a，则三棱锥A?BCD外接球的半径R?3a。 23。 2BC（第2题图）
D由4?R2?3?，得R?11∴ a?1，三棱锥A?BCD的体积V?a3?。
66
3．已知x为实数，若存在实数y，使得2x?y?0，且xy?2x?3y，则x的取值范围为（ ）
?3)?(0，??) B．(0，2)?(4，??) A．(?4，?4)?(?3，0) D．(??，0)?(2，4) C．(??，【答案】 C 【解答】 由xy?2x?3y，得y?∵ 2x?y?0， ∴ 2x?2xx(x?4)?0，即?0，解得x??4或?3?x?0。 x?3x?32x x?3?4)?(?3，0)。 ∴ x的取值范围为(??，4．m、n是两条不重合的直线，?、?是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）
（1）对m、n外任意一点P，存在过点P且与m、n都相交的直线； （2）若m??，n∥m，n∥?，则???； （3）若m??，n??，且???，则m?n； （4）若m∥?，n∥?，m∥?，n∥?，则?∥?。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B
【解答】（1）不正确。如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，
n为直线A1C1。取m为直线BD，过点A的直线l如果与直线BDD1A1DAEFB（第4题图）
C1B1C相交，则l在面ABCD内，此时l与直线A1C1不相交。
（2）、（3）正确。
（4）不正确。如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的面ABCD内取两条与BC平行的直线，如图中的直线AD与EF，则有AD∥面BCC1B1，EF∥面BCC1B1，AD∥面A1B1C1D1，
EF∥面A1B1C1D1，但面BCC1B1与面A1B1C1D1相交而不平行。
5．已知函数f(x)?(x2?2x)(x2?mx?n)，若对任意实数x均有f(?3?x)?f(?3?x)，则
f(x)的最小值为（ ）
A．?16 B．?14 C．?12 D．?10 【答案】 A
【解答】 依题意，f(x)的图像关于直线x??3对称。 ∴ f(?6)?f(0)?0，f(?4)?f(?2)?0。
?24(36?6m?n)?0?m?10于是，?，解得?。
?8(16?4m?n)?0?n?24m?10，n?24时，
f(x)?(x2?2x)(x2?10x?24)?x(x?2)(x?4)(x?6)?(x2?6x)(x2?6x?8)。
22??(x?3)?9?8(x?3)?9?∴ f(x)?(x2?6x)2?8(x2?6x)??????，
22即f(x)?(x?3)?10(x?3)?9???(x?3)?5???16。
422此时，f(?3?x)?(x2?5)2?16，f(?3?x)?(x2?5)2?16，符合题意。 ∴ (x?3)2?5?0，即x??3?5时，f(x)取最小值?16。
6．已知a，若a2?b2?c2?1，且(a?1)(b?1)(c?1)?abc，则a的最小值为（ ） b，c?R，
1111A．? B．? C．? D．?
6543【答案】 D
【解答】 由(a?1)(b?1)(c?1)?abc，得abc?ab?bc?ca?a?b?c?1?abc。 ∴ ab?bc?ca?a?b?c?1。 设a?b?c?x，则ab?bc?ca?x?1。
∵ a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ca)?1，
∴ x2?2(x?1)?1，解得x?1，即a?b?c?1，ab?bc?ca?0。 ∴ ab?(a?b)c?0，即ab?(a?b)(1?a?b)?0。 ∴ a2?b2?ab?a?b?0，即b2?(a?1)b?a2?a?0。 由a，b?R知，△?(a?1)2?4(a2?a)?0。
11∴ 3a2?2a?1?0，解得??a?1。因此，a??。
3312又当a??时，代入前面解得，b?c?。符合题设要求。
331∴ a的最小值为?。
3二、填空题（每小题6分，共36分）
7．已知定义在??1，0?上的函数f(x)?loga(x?m)（a?0，且a?1）的值域也是??1，0?，则a?m的值为 。
【答案】
5 2【解答】当a?1时，f(x)在??1，0?上为增函数，依题意有
?f(?1)?loga(?1?m)??1，方程组无解。 ?f(0)?log(0?m)?0a?当0?a?1时，f(x)在??1，0?上为减函数，依题意有
?m?2?f(?1)?loga(?1?m)?0?，解得?1。 ?a??f(0)?loga(0?m)??1??2所以，a?m?5。 2P8．如图，在三棱锥P?ABC中，PA?PC?BA?BC?5，AC?6，
PB?4。设PA与面ABC所成的角为?，则sin?的值
ACB为 。
【答案】
23 5【解答】如图，取AC中点O，连接OP，OB。 ∵ PA?PC?BA?BC?5，AC?6， ∴ AC?OP，AC?OB，OP?OB?4。 ∴ AC?面POB，面ABC?面POB。 又由PB?4，知△POB是等边三角形。
作PH?OB于H，则PH?面ABC，且PH?23。 ∴ ?PAH是PA与面ABC所称的角。 ∴ sin??sin?PAH?
12)，B(?16，?12)，O(0，0)，点D在线段OB内，且AD平分?OAB，则9．已知A(?9，PH23?。 PA5（第8题图）
POAHB（第8题图）
C点D的坐标为 。
9【答案】 (?6，?)
2【解答】如图，OB方程为y?3设D(4t，。 x，3t)（?4?t?0）4又直线AO方程为4x?3y?0，AB方程为
24x?7y?300?0，AD平分?OAB。
∴ 点D到直线AO、AB距离相等。 ∴
16t?9t96t?21t?300?。 5253解得，t?6（舍去）或t??。
29?)。 因此，点D坐标为(?6，2（第9题图）
10．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，且在区间?0，若f(?)?1，1?上单调递减。
?1?x?2，则不等式组的解集为 。 f(2?)?2??1?f(x)?2【答案】 ???2，8?2??
【解答】∵ f(x)是偶函数，且在区间?0，1?上单调递减。 ∴ f(x)在区间??1，0?上为增函数。 又f(x)是以2为周期的周期函数， ∴ f(x)在区间?1，2?上为增函数。
又f(?)?1，f(2?)?2，以及f(x)是以2为周期的偶函数。 ∴ f(??2)?f(?)?1，f(8?2?)?f(2??8)?f(2?)?2。 又1???2?8?2??2，
∴ 不等式组的解集为???2，8?2??。
11．已知f(x)?x，定义f1(x)?f(x)，fn(x)?f(fn?1(x))，n?2，3，4，…，则x?2f2017(3)? 。
【答案】
322019?3
333333，f2(3)??4，f3(3)?， ?3?552?3132?3292?3【解答】 依题意，有f1(3)?…………… 一般地，有fn(3)?所以，f2017(3)?
32n?2?3。
322019?3。
12．已知x?0，y?0，z?0，且x2?5y2?z2?1，则2xy?yz的最大值为 。 【答案】
1 2【解答】由1?x2?5y2?z2?(x2?4y2)?(y2?z2)?4xy?2yz?2(2xy?yz)，知
2xy?yz?211，当且仅当x?2y，且y?z，即x?，y?z?时，等号成立。 21010
2019年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
