即：-22y+35y-3=(2y-3)(-11y+1)． 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
2
所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得
到下图：
它表示的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x-7xy-22y； (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；
2
(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3． 这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax+bxy+cy+dx+ey+f进行因式分解的步骤是： (1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得到一个十字相乘图(有两列)；
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式
中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx． 例1 分解因式： (1)x-3xy-10y+x+9y-2； (2)x-y+5x+3y+4； (3)xy+y+x-y-2；
(4)6x-7xy-3y-xz+7yz-2z． 解 (1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)． (2)
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原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x项，可把这一项的系数看成0来分解．
2
原式=(y+1)(x+y-2)． (4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似． 2．求根法
我们把形如anx+an-1x+?+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，
g(x)，?等记号表示，如
f(x)=x-3x+2，g(x)=x+x+6，?，
当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=1-3×1+2=0； f(-2)=(-2)-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a． 根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x) 要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
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n
n-1
定理2
的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为
an的约数．
我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解． 例2 分解因式：x-4x+6x-4．
分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，
±4，只有
f(2)=2-4×2+6×2-4=0，
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2
3
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即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2． 解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)． 原式=(x-2x)-(2x-4x)+(2x-4) =x(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x-2x+2)．
解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，
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所以
原式=(x-2)(x-2x+2)．
说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不
一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证． ※※变式练习
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1. 分解因式：9x-3x+7x-3x-2．
分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±
2
为：
所以，原式有因式9x-3x-2． 解 9x-3x+7x-3x-2 =9x-3x-2x+9x-3x-2 =x(9x-3x-2)+9x-3x-2 =(9x-3x-2)(x+1) =(3x+1)(3x-2)(x+1)
说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式
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可以化为9x-3x-2，这样可以简化分解过程．
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总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，
而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了． 3．待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数
尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 例3 分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3． 分析 由于
(x+3xy+2y)=(x+2y)(x+y)，
若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可
求出m和n，使问题得到解决． 解 设
x+3xy+2y+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)
=x+3xy+2y+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有
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解之得m=3，n=1．所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下． ※※变式练习
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1.分解因式：x-2x-27x-44x+7．
分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7
的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x+ax+b)(x+cx+d)的形式． 解 设
原式=(x+ax+b)(x+cx+d)
=x+(a+c)x+(b+d+ac)x+(ad+bc)x+bd， 所以有
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由bd=7，先考虑b=1，d=7有
所以
原式=(x-7x+1)(x+5x+7)．
说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程
组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．
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本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．
四、巩固练习：
1. 分解因式：(x+xy+y)-4xy(x+y)．
分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式． 解 原式=[(x+y)-xy]-4xy[(x+y)-2xy]．令x+y=u，xy=v，则 原式=(u-v)-4v(u-2v) =u-6uv+9v =(u-3v) =(x+2xy+y-3xy) =(x2-xy+y2)2．
五、反思总结
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因式分解（竞赛题）含答案
