15．(20分）图中坐标原点O (0, 0）处有一带电粒子源，向y≥0
得分 阅卷 复核 一侧沿Oxy平面内的各个不同方向发射带正电的粒子，粒子 的速率都是v，质量均为m，电荷量均为q．有人设计了一方
向垂直于Oxy平面，磁感应强度的大小为 B 的均匀磁场区域，
使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x轴正方向运动．试求出此边界线的方程，并画出此边界线的示意图．
得分 阅卷 复核 16．(20分）在海面上有三艘轮船，船A以速度u向正东方向航行，船B以速度2u 向正北方向航行，船C以速度22u 向东偏北450方向航行．在某一时刻，船B和C恰好同时经
过船A的航线并位于船A的前方，船B到船A的距离为a，船C到船A的距离为2a．若以此时刻作为计算时间的零点，求在t时刻B、C两船间距离的中点M到船A的连线MA绕M 点转动的角速度．
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第28届全国中学生物理竞赛预赛试卷
参考解答与评分标准
一、选择题．
答案：
1．C 2．C 3．BC 4．A 5．D 评分标准：
本题共5小题，每小题6分．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或
不答的得0分． 二、填空题
答案与评分标准： 6．2.5m ( 6分） 7．
3s(10 分） 5ke28． ( 6分） 2.0×10-9 (2分）
Ek?ECl9．9 ( 10 分） 10．
i．如图所示．( 8分）（图错不给分，图不准确酌情评分．)
ii．并联电阻两端的电压U0=2.3V (2分），通过电阻1的电流I10＝1.2A (3分），通过电阻2的电流I20= 2.2A ( 3分）（读数第一位必须正确，第二位与答案不同，可酌情评分．)
iii．2.5 W ( 2 分）, 4 .9W ( 2 分）
11．参考解答：
i．设空间站离地面的高度为H, 因为同步卫星的周期和地球自转周期相同，根据开普勒第三定律以及题意有
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（R?H)3T2?2 (1) 3(R?H0)T0即 H?(R?H0)(T2/3 (2) )?RT0代人数据得 H= 376km (3) 卫星的高度 h =H一l =356km (4)
卫星在细绳的拉力 F 和地球引力作用下跟随空间站一起绕地球作周期为 T 的圆周运动，有
GMm2?2?F?m()(R?h) (5) 2(R?h)T式中G为万有引力常量， M为地球质量．空间站在地球引力作用下绕地球作周期为 T 的圆周运动 故有 GMm?2?2??m()(R?h) (6) 2(R?h)T式中m’为空间站的质量．由（5）、（6）两式得
2?2(R?H)2F?m()(R?h)[?1] (7) 2T(R?h)将（3）、（4）式及其他有关数据代人（7）式得 F=38.2N (8)
ii．细绳脱落后，卫星在地球引力作用下绕地球运动的轨道为一椭圆．在脱落的瞬间，卫星的速度垂直于卫星与地心的连线，所以脱落点必是远地点（或近地点），由( 4）式可知，此点到地面的高度
h =356km (9) 设卫星在近地点（或远地点）的高度为h'，速度为v'，根据开普勒第二定律，有 (R?h?)v??根据机械能守恒，有
2?(R?h)2 (10) T1Mm12?Mmmv?2?G?m()2(R?h)2?G (11) 2R?h?2TR?h联立（10）、（11）两式并利用（6）式得
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(R?h)4 h?? (12)
2(R?H)3?(R?h)3代人有关数据有 h ' = 238km (13 ) 由（9）、（13）两式可知，远地点到地面的高度为356km，近地点到地面的高度为238km .
设卫星的周期为T '，根据开普勒第三定律，卫星的周期 T??(2R?h?h?3/2)T (14)
2R?2H代人数据得T '= 90 . 4min (15) 评分标准：本题 17 分．
第i小题9分． ( l）式2分， ( 5）式3分， ( 6）式2分， (8）式2分．
第ii小题8分． (9）、（10）式各l分， (11）式 2 分， (12）、（13）、（14）、（15）式各1分．
12．参考解答： 解法一
因为下坡时自行车匀速行驶，可知阻力大小
f=mgsinθ (1)
由题意，自行车沿斜坡匀速向上行驶时，轮盘的角速度 ??2?N (2) t设轮盘边缘的线速度为v1，由线速度的定义有
v1=ωR1 (3)
设飞轮边缘的线速度为v2，后车轮边缘的线速度为v3，因为轮盘与飞轮之间用链条连结，它们边缘上的线速度相同，即 v1=v2 (4) 因飞轮与后车轮的转动角速度相同，故有
v2R2? (5) v3R3因车轮与坡面接触处无滑动，在车后轮绕其中心轴转动一周的时间T内，车后轮中心轴前进的路程
?s?2?R3 (6 )
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而 T?2?R3 (7) v3车后轮的中心轴前进的速度即自行车行驶速度的大小
V?由以上有关各式得 V??s (8) T2?NR1R3 (9) R2t人骑自行车上坡的功率为克服阻力f 的功率加上克服重力沿斜面分力的功率，即 P=fV+mgVsinθ (10) 由（l）、（9）、（10）式
P?4mg?NR1R3sin? (11)
R2t评分标准：本题 17 分．
( l）式 3 分，求得（9 式共 8 分， (10）式5分， (11）式1分． 解法二
因下坡时自行车匀速行驶，若自行车出发点的高度为h，则克服阻力所做的功Wf等于势能的减少，有
Wf=mgh (1) 用s表示自行车行驶的路程，有
h =ssinθ (2 )
自行车沿斜坡匀速向上行驶时，骑车者所做的功W，等于克服阻力的功Wf与势能增量mgh之和，即
W=Wf+mgh (3) 设骑车者蹬踩踏板N圈到达下坡时的出发点，因踏板转N圈可使后轮转NR1/R2圈，所以自行车行驶的距离s为 s?由（1）到（4）式，得
NR1?2?R (4) R2W?4?NR1R3?mgsin? (5) R2t
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第28届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案
