平面向量专题（三）
一：知识梳理
??1、相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为a?b。大小相等，方
向相同
?x?x2(x1,y1)?(x2,y2)??1?y1?y2。 2、平面向量的坐标运算：
rrrr①若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?；uuur②若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB??x2?x1,y2?y1?；
rr③若a=(x,y)，则?a=(?x, ?y)；
rrrr④若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a//b?x1y2?x2y1?0。
3、平面向量的相关计算
①向量的模与平方的关系：a?a②乘法公式成立 rrrr?a2?|a|2。 ????rrrrrr?a?b??a?2a?b?b22rrrrr2r2r2r2a?b?a?b?a?b?a?b； 2r2rrr2?a?2a?b?b； =
rrrra?b ③向量的夹角：cos?=cos?a,b??rra?b④两个向量的数量积的坐标运算 x1x2?y1y2x1?y1?x2?y22222
rrrr已知两个向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a·b=x1x2?y1y2。 rr⑤垂直：如果a与b的夹角为
900则称
rra与brr垂直，记作a⊥b。 ????两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝O?x1x2?y1y2?0，平面向量数量积的
性质。 ⑥平面内两点间的距离公式 设a?(x,y)，则|a|2?x2?y2或|a|?x2?y2。
二、练习：
→→
1、已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为( )
3231532 A. B. C．－
222315
D．－
2
2、已知向量a＝(x＋1,1)，b＝(1，y－2)，且a⊥b，则x2＋y2的最小值为( ) 1A. 31C. 2
2B. 3D．1
3、在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设向量p＝(b－c，a－c)，q＝(c＋a，b)，若p∥q，则角A的大小是( )
A．30° C．60°
B．45° D．90°
4、已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|＝( ) A.70 C．35
B．45 D．25
m
5、已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝( )
nA．－2 1C．－
2
B．2 1D. 2
6、已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( ) A．[2－1，2＋1] C．[1，2＋1]
B.[2－1，2＋2] D．[1，2＋2]
π
0，?. 7、设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈??2?(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
向量专题是练习答案
→→→→→→
1、解析：AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，向量AB＝(2,1)在CD＝(5,5)上的投影为|AB|cos〈AB，→→→→
→→AB·CDAB·CD1532CD〉＝|AB|＝＝＝，故选A.
2→→→52|AB||CD||CD|
答案：A
2、解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即x＋1＋y－2＝0，整理得x＋y＝1，∴x2＋y2＝x2＋(1－1111
x－?2＋≥，∴x2＋y2的最小值为. x)2＝2x2－2x＋1＝2??2?222
答案：C
b2＋c2－a2
3、解析：∵p∥q，∴b·(b－c)＝(a－c)·(a＋c)，整理得b＋c－a＝bc，故cos A＝2bc
2
2
2
1
＝，故A＝60°. 2
答案：C
m－2
4、解析：依题意得，＝，故m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，
21故|2a＋3b|＝?－4?2＋?－8?2＝45，选B.
答案：B
5、解析：由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，m1
因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得＝－.
n2
答案：C
6、解析：由a，b为单位向量且a·b＝0，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，又设c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝ 12＋12＋1，即2－1≤|c|≤ 2＋1. 答案：A
7、解析：(1)由|a|2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x， |b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. π1
0，?，从而sin x＝， 又x∈??2?2π
所以x＝. 6
(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sin2x ＝
π1311
2x－?＋， sin 2x－cos 2x＋＝sin?6?2?222
x2＋y2，故由几何性质得12＋12－1≤|c|≤
πππ
2x－?取最大值1. 当x＝∈[0，]时，sin?6??323
所以f(x)的最大值为.
2
平面向量专题练习（优秀经典专题梳理练习及答案详解）
