2015年四川理工学院专升本《高等数学》考试题（理工类）
一、选择题（每题3分，共15分） 1、极限lim(x??x?3x?1)?（ D ） x?12（A）1 （B）e （C）? （D）e 【知识点】第二个重要极限。
?1?2x?3x?12x2)?lim(1?)?e2。 解析：lim(x??x?1x??x?12、函数f(x)?x在x?0处（ D ）
（A）f?(0)?1 （B）f?(0)??1 （C）f?(0)??1 （D）f?(0)不存在 【知识点】导数的定义。
?1,?x?0解析：f?(0)?lim，即f?(0)不存在。 ???x?0?x??1,?x?0?x?x?t?6x?1y?5z?8?3、直线与直线?y?t的夹角为（ A ） ??1?21?z??2t?3?（A）
???? （B） （C） （D） 3462【知识点】直线间的夹角公式（方向向量的夹角）。
?x?t?6x?6yz?3?解析：由参数方程?y?t得对称式方程：； ??11?2?z??2t?3?于是，cos??a1?2?21?4?1?1?1?4?1?，即??。 23324、设I??xf(x)dx(a?0)，则（ D ）
0（A）I??a20（B）I??xf(x)dx
0a1a21axf(x)dx （C）I??xf(x)dx （D）I??xf(x)dx
2020【知识点】凑微分法。 解析：I??a0x3f(x2)dx?1a21a22xf(x)dx?tf(t)dt。 ??00225、设f(x,y)连续，交换二次积分（A）（C）
?10dy?1?y0f(x,y)dx的次序是（ C ） dx?f(x,y)dy
01?x201?dx?011?x0f(x,y)dy （B）?1?y0?dx?011?x20f(x,y)dy （D）?dx?01f(x,y)dy
【知识点】交换二次积分次序。
解析：新积分区域D:0?x?1;0?y?1?x，所以，I?二、填空题：（每题3分，共15分） 6、函数z?2?dx?011?x20f(x,y)dy。
11arcsin2x22D?{(x,y)0?x?y?1,??x?}】的定义域是 。【
22ln(1?x2?y2)【知识点】二元函数的定义域。
1?1??1?2x?1???x???2解析：定义域为：?2。 220?1?x?y?122???0?x?y?17、e?x?1【2(x?1?1)edx? 。
x?1?c】
【知识点】换元法、分部积分法。 解析：令x?1?t，dx?2tdt。 于是，e?x?1dx??2tetdt?2(t?1)et?c?2(x?1?1)e?x?1?c。
8、判定级数
1收敛还是发散，答： ；【收敛】 ?n?1n?n!【知识点】比值审敛法。 解析：limun?1n?n!n(1?(n?1)!)?lim?lim?0?1。
n??un??(n?1)?(n?1)n!n??(n?1)(1?n!)n29、微分方程xydx?(x?1)dy?0的通解 。【y?cx?12】
【知识点】可分离变量微分方程。 解析：
dyx1??dx?lny??ln(x2?1)?c?y??y?x2?12222cx?12。
10、曲面x?2y?3z?36在点(1,2,3)处的切平面 。【(x?1)?4(y?2)?9(z?3)?0】
【知识点】曲面的切平面方程。
解析：令F(x,y,z)?x?2y?3z?36，Fx??2x，Fy??4y，Fz??6z； 过点(1,2,3)的切平面方程的法向量n?{2,8,18}，
故，切平面方程为：2(x?1)?8(y?2)?18(z?3)?0，即x?4y?9z?36。 三、解答题（每小题8分，共56分） 11、求极限limx?0222rsin2x?1?1。
x【知识点】等价替换。
1sin2xsin2x?1?1解析：lim?lim2?1。
x?0x?0xx?x?acos3td2y12、已知函数y?f(x)由方程?确定，求2。 3dx?y?asint【知识点】参数方程的二阶导数。
d2y?sec2t1dy?解析：。 ??tant，2?dx?3acos2tsint3acos4tsintdx13、由元素法的思想写出：由X型区域0?a?x?b，0?y?f(x)绕y轴旋转的旋转体的体积公式，然后计算由y?sinx，0?x??与x轴所围成图形绕y轴旋转的体积。 【知识点】元素法（微元法）。
解析：在区间[a,b]任取小区间[x,x?dx]，面积元素dA?f(x)dx，
而dA绕y轴旋转而成圆环（周长2?x），其体积元素dV?2?xf(x)dx；（展开为长方体） 于是，平面图形绕y轴旋转而成立体的体积为：V?由此公式得：Vy?2??ba2?xf(x)dx?2??xf(x)dx。
ab??02xsinxdx?2?[?xcosx?sinx]??2?。 0?2z14、设z?f(x,xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求。
?x?y【知识点】二阶偏导数（抽象函数）。
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