线性代数历史

线性代数的历史

译自Israel Kleiner《》

线性代数是一个超级有效的学科，它的大体概念产生并被应用在数学和它的应用的各个不同领域，因此这门学科植根于诸如数论（初等数论和代数数论）、几何学、抽象代数（群，环，域和伽罗瓦(Galois)理论）、分析学（微分方程，积分方程和泛函分析）和物理学这些如此丰硕多彩的领域就毫不奇怪了。线性代数的大体概念是线性方程组、矩阵、行列式、线性变换、线性无关、维数、双线性型、二次型和向量空间。由于这些概念之间是紧密关联的，所以有些概念通常会出此刻同一段内容中（例如线性方程组和矩阵），从而使得咱们往往不能将它们分离开来。

到1880年为止，已经取得许多线性代数的大体结果，但它们还不属于某个一般性的理论。特别要指出的是，那时还尚未提出向量空间那个构建这种理论的大体观念。那个观念仅在1888年由皮亚诺(Peano)提出过。即便如此，它那时也被大大地轻忽了（犹如格拉斯曼（Grassmann）更早前的开创性工作），直到20世纪初期作为一个完整理论的大体要素那个观念才再次起飞。因此线性代数那个学科的历史进展顺序与它的逻辑顺序正好相反。

咱们将依照下面的顺序来描述线性代数的大体演变史：线性方程组；行列式；矩阵和线性变换；线性无关，基和维数；向量空间。在那个进程中，咱们将评述上面提到的某些其他概念。

5.1线性方程组

大约4000年前，巴比伦人就明白如何解两个二元一次线性方程组成的线性方程组（2*2的线性方程组）。在著名的《九章算术》（大约公元前200年，Nine Chapters of the Mathematical Art）中，中国人解出了3*3的线性方程组，解法中只利用了线性方程组的（数值）系数。这些做法是矩阵方式的原型，但和高斯（Gauss）和其他人2000年后提出的“消元法”并非相同。见[20]。

对线性方程组的现代研究能够说肇始自莱布尼兹（Leibniz），为了研究线性方程组他于1693年提出了行列式的观念。可是那时他的研究鲜为人知。克莱姆（Cramer）在他1750年出版的《代数曲线分析入门》（Introduction to the Analysis of Algebraic Curves）中，发表了一个后来以他的名字命名的解n*n线性方程组的法则，可是他没有给出证明。在试图解决一个几何问题，即肯定一条通过（1/2）n2 +（3/2）n个定点的 次代数曲线时，他发觉需要研究线性方程组。见[1]，[20]。

欧拉（Euler）或许最先注意到含有n个n元一次线性方程的线性方程组不必然有唯一解，他还指出要取得唯一解必需添加条件。虽然他并无给出具体条件，但他的脑中有一个方程独立于其余的方程的思想。到了十八世纪，线性方程组的研究通常被归类在行列式之下，所以并无研究方程的数量与未知数的数量不相等的线性方程组。见[8],[9]。

与他提出的最小二乘法（发表于1811年的一篇涉及小行星的轨道

测定的论文中）相联系的是，为了求解线性方程组，高斯提出了一种此刻叫做高斯消元法的系统性的程序，虽然他没有利用矩阵符号。他处置了线性方程组的方程数量与未知数数量不相等的 情形[20]。线性方程组的理论问题，包括线性方程组的相容性问题，在十九世纪后半叶被探讨，而且它们至少是被将二次型和双线性型化简成“简单”（规范）型如此的问题部份推动的。见[16]，[18]。

5.2 行列式

虽然咱们此刻谈论一个矩阵的行列式，可是这两个概念却有着不同的起源。特别要指出的是，行列式出此刻矩阵之前，而且在它们的历史初期都与线性方程组有着紧密的联系。随后出现的问题致使了行列式的新用途，它们包括消去理论（寻觅两个多项式有公共根的条件）、旨在化简代数式（例如二次型）的坐标变换、重积分中的变量替换、微分方程组的求解和天体力学。见[24]。

正如咱们在关于线性方程组的前一节已指出的那样，莱布尼兹发明了行列式，他“在本质上知晓它们的现代组合概念”[21]，而且将它们应用于解线性方程组和消元理论中。他撰写了很多有关行列式的论文，可是这些论文直到最近才得以公开。见[21],[22].

第一份包括行列式大体知识的出版物是麦克劳林（Maclaurin）的《论代数》（Treatise of Algebra），其中行列式被用来求解2*2和3*3的方程组。紧随其后的就是克莱姆对行列式意义重大的应用（参看前一节）。见[1]，[20]，[21]。