中考数学与圆有关的压轴题（解答题部分3）
11．（2014?四川成都,第27题10分）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是
上异于A，
C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G． （1）求证：△PAC∽△PDF； （2）若AB=5，
=
，求PD的长；
=x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不
（3）在点P运动过程中，设要求写出x的取值范围）
考圆的综合题 点：
分（1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例．因为题中因析： 圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，
因为涉及圆，倾向于找接近圆的角∠DPF，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得∠DPF=∠APC，则结论易证．
（2）求PD的长，且此线段在上问已证相似的△PDF中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路．利用已知条件易得其他边长，则PD可求．
（3）因为题目涉及∠AFD与也在第一问所得相似的△PDF中，进而考虑转化，∠AFD=∠PCA，连接PB得∠AFD=∠PCA=∠PBG，过G点作AB的垂线，若此线过PB与AC的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形ABC相似可用AG表示∠PBG所对的这条高线．但是“此线是否过PB
与AC的交点”此时首先需要做的是多画几个动点P，观察我们的猜想．验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过PB与AC的交点是我们解题的关键．常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线作法，先做垂线，得交点H，然后连接交点与B，再证明
∠HBG=∠PCA=∠AFD．因为C、D关于AB对称，可以延长CG考虑P点的对称点．根据等弧对等角，可得∠HBG=∠PCA，进而得解题思路． 解
（1）证明：∵答：
，
所对的圆周角=180°﹣
所对的圆周
∴∠DPF=180°﹣∠APD=180°﹣角=
所对的圆周角=∠APC．
在△PAC和△PDF中，
，
∴△PAC∽△PDF．
（2）解：如图1，连接PO，则由△AEF都为等腰直角三角形．
，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、
在Rt△ABC中， ∵AC=2BC，
∴AB2=BC2+AC2=5BC2， ∵AB=5，
∴BC=， ∴AC=2
，
∴CE=AC?sin∠BAC=AC?=2?=2， AE=AC?cos∠BAC=AC?
=2
?
=4，
∵△AEF为等腰直角三角形， ∴EF=AE=4，
∴FD=FC+CD=（EF﹣CE）+2CE=EF+CE=4+2=6． ∵△APO为等腰直角三角形，AO=?AB=， ∴AP=
．
∵△PDF∽△PAC， ∴
，
∴，
∴PD=．
（3）解：如图2，过点G作GH⊥AB，交AC于H，连接HB，以圆，连接CG并延长交⊙O于Q，
HB为直径作
∵HC⊥CB，GH⊥GB，
∴C、G都在以HB为直径的圆上， ∴∠HBG=∠ACQ，
∵C、D关于AB对称，G在AB上， ∴Q、P关于AB对称， ∴
，
∴∠PCA=∠ACQ， ∴∠HBG=∠PCA． ∵△PAC∽△PDF， ∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，
∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=∵HG=tan∠HAG?AG=tan∠BAC?AG=∴y=
=x．
． =
，
点本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，评： 但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结．总体来讲本题偏难，
学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路．
12. （2014?湖北荆门,第24题12分）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S． （1）求证：四边形ABHP是菱形；
（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；
（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．
第3题图
考点： 圆的综合题；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；垂径定理；切线的性质；切线长定理；轴对称的性质；特殊角的三角函数值所有 专题： 压轴题．
分析： （1）连接OH，可以求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，从而可以求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得BA=BH，即可证到四边形ABHP是菱形．
（2）当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，可求出x=2．
（3）当0≤x≤2时，如图①，S=S△EGF，只需求出FG，就可得到S与x之间的函数关系式；当2＜x≤3时，如图④，S=S△GEF﹣S△SGR，只需求出SG、RG，就可得到S与x之间的函数关系式．当FG与⊙O相切时，如图⑤，易得FK=AB=3，KQ=AQ﹣AK=2﹣2+x．再由FK=KQ即可求出x，从而求出S． 解答： 解：（1）证明：连接OH，如图①所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD． ∵HP∥AB，
中考数学与圆有关的压轴题
