2013年上海市秋季高考理科数学
一、填空题 1．计算：limn?20?______
n??3n?13n?201?．
n??3n?1332【解答】根据极限运算法则，lim22．设m?R，m?m?2?(m?1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m?________
?m2?m?2?0【解答】??m??2． 2?m?1?03．若
x2?12y21?2xxy?y，则x?y?______
【解答】x?y??2xy?x?y?0．
4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若3a?2ab?3b?3c?0，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 【解答】3a?2ab?3b?3c?0?c?a?b?5222222222211ab，故cosC??,C???arccos． 333a??75．设常数a?R，若?x2??的二项展开式中x项的系数为?10，则a?______
x??【解答】Tr?1?C5(x)6．方程
r25?ra1a??10?a??2． ()r,2(5?r)?r?7?r?1，故C5x31??3x?1的实数解为________ x3?132x【解答】原方程整理后变为3?2?3x?8?0?3x?4?x?log34．
7．在极坐标系中，曲线??cos??1与?cos??1的公共点到极点的距离为__________
【解答】联立方程组得?(??1)?1???1?51?5，又??0，故所求为． 228．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编
号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）
C5213【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1?2?．
C9189．设AB是椭圆?的长轴，点C在?上，且?CBA?之间的距离为________
?4，若AB=4，BC?2，则?的两个焦点
446x2y2?2?1，于是可算得C(1,1)，得b2?,2c?【解答】不妨设椭圆?的标准方程为．
334b10．设非零常数d是等差数列x1,x2,x3,L,x19的公差，随机变量?等可能地取值x1,x2,x3,L,x19，则方差D??_______
d222【解答】E??x10，D??(9?8?L?12?02?12?L?92)?30|d|．
1912,sin2x?sin2y?，则sin(x?y)?________ 23122【解答】cos(x?y)?，sin2x?sin2y?2sin(x?y)cos(x?y)?，故sin(x?y)?．
23311．若cosxcosy?sinxsiny?a2?7，若12．设a为实常数，y?f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?9x?xf(x)?a?1对一切x?0成立，则a的取值范围为________
a2?7?a?1 【解答】f(0)?0，故0?a?1?a??1；当x?0时，f(x)?9x?x即6|a|?a?8，又a??1，故a??8． 72213．在xOy平面上，将两个半圆弧(x?1)?y?1(x?1)和
(x?3)2?y2?1(x?3)、两条直线y?1和y??1围成的封
闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为?，过(0,y)(|y|?1)作?的水平截面，所得截面面积为4?1?y?8?，试利用祖暅原理、一个平放的圆
柱和一个长方体，得出?的体积值为__________
【解答】根据提示，一个半径为1，高为2?的圆柱平放，一个高为2，底面面积8?的长方体，这两个几何体与?放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即?的体积值为??1?2??2?8??2??16?．
14．对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)?{y|y?g(x),x?I}，已知定义域为[0,3]的函数
222y?f(x)有反函数y?f?1(x)，且f?1([0,1))?[1,2),f?1((2,4])?[0,1)，若方程f(x)?x?0有解x0，则x0?_____
【解答】根据反函数定义，当x?[0,1)时，f(x)?(2,4]；x?[1,2)时，f(x)?[0,1)，而y?f(x)的定义域为[0,3]，故当x?[2,3]时，f(x)的取值应在集合(??,0)?[1,2]?(4,??)，故若
f(x0)?x0，只有x0?2．
二、选择题
15．设常数a?R，集合A?{x|(x?1)(x?a)?0},B?{x|x?a?1}，若A?B?R，则a的取值范围为（ ）
(A) (??,2)
(B) (??,2]
(C) (2,??)
(D) [2,??)
【解答】集合A讨论后利用数轴可知，??a?1?a?1或?，解答选项为B．
?a?1?1?a?1?a16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解答】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B．
an?2n?1，17．在数列{an}中，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素ai,j?ai?aj?ai?aj，
（i?1,2,L,7;j?1,2,L,12）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
(A)18
(B)28
(C)48
i?j (D)63
【解答】ai,j?ai?aj?ai?aj?2?1，而i?j?2,3,L,19，故不同数值个数为18个，选A．
18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为
uruuruuruuruuruuruuruuruuruura1,a2,a3,a4,a5；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d1,d2,d3,d4,d5.若m,M分别为uruuruuruuruuruur(ai?aj?ak)?(dr?ds?dt)的最小值、最大值，其中{i,j,k}?{1,2,3,4,5},{r,s,t}?{1,2,3,4,5},
则m,M满足（ ）. (A) m?0,M?0
(B) m?0,M?0
(C) m?0,M?0
(D) m?0,M?0
uuuruuuruuuruuururuurAF?DE?AB?DC?0【解答】作图知，只有，其余均有ai?dr?0，故选D．
三、解答题
19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.
【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故AB//C1D1,AB?C1D1， 故ABC1D1为平行四边形，故BC1//AD1，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；
直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h
DAD1BCC1B1A1考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得V?111?(?1?2)?1? 323而?AD1C中，AC?DC?5,AD1?2，故S?AD1C?1所以，V?3 213122??h??h?，即直线BC1到平面D1AC的距离为． 32333
20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1?x?10），每小时可获得利润是100(5x?1?)元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 【解答】(1)根据题意，200(5x?1?)?3000?5x?14?又1?x?10，可解得3?x?10 (2)设利润为y元，则y?3x3x3?0 x90031161?100(5x?1?)?9?104[?3(?)2?] xxx612故x?6时，ymax?457500元．
21．（6分+8分）已知函数f(x)?2sin(?x)，其中常数??0； （1）若y?f(x)在[??2?4,3]上单调递增，求?的取值范围；
（2）令??2，将函数y?f(x)的图像向左平移
?个单位，再向上平移1个单位，得到函数y?g(x)6的图像，区间[a,b]（a,b?R且a?b）满足：y?g(x)在[a,b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a,b]中，求b?a的最小值． 【解答】(1)因为??0，根据题意有
????????3?42?0??? ?4?2?????2?3(2) f(x)?2sin(2x)，g(x)?2sin(2(x?))?1?2sin(2x?)?1
63?1?7g(x)?0?sin(2x?)???x?k??或x?k???,k?Z，
32312?2?即g(x)的零点相离间隔依次为和，
332??43??15??故若y?g(x)在[a,b]上至少含有30个零点，则b?a的最小值为14?． 333
??x2?y2?1，曲线22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线C1:2C2:|y|?|x|?1，P是平面上一点，若存在过点P的直线与C1,C2都有公
共点，则称P为“C1—C2型点”．
(1)在正确证明C1的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线y?kx与C2有公共点，求证|k|?1，进而证明原点不是“C1—C2型点”； (3)求证：圆x?y?221内的点都不是“C1—C2型点”． 22)，与C2交于2【解答】：（1）C1的左焦点为F(?3,0)，过F的直线x??3与C1交于(?3,?(?3,?(3?1))，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为x??3；
（2）直线y?kx与C2有交点，则
?y?kx?(|k|?1)|x|?1，若方程组有解，则必须|k|?1； ?|y|?|x|?1?直线y?kx与C2有交点，则
?y?kx1222，若方程组有解，则必须 k??(1?2k)x?2?222?x?2y?2故直线y?kx至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。 （3）显然过圆x?y?221内一点的直线l若与曲线C1有交点，则斜率必存在； 2根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(t,t?1)(t?0)，则
l:y?(t?1)?k(x?t)?kx?y?(1?t?kt)?0
直线l与圆x?y?2221|1?t?kt|2内部有交点，故 ?222k?112(k?1)。。。。。。。。。。。。① 2化简得，(1?t?tk)?若直线l与曲线C1有交点，则
?y?kx?kt?t?112?2?(k?)x?2k(1?t?kt)x?(1?t?kt)2?1?0 ?x222?y?1??2
2013年上海高考数学试题（理科） 解析
