【训练2】 (1)(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是________. ?π?1?π?
(2)(2018·四诊)已知sin?－α?＝，则cos?＋2α?＝________.
?3?4?3?解析 (1)原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2.
?π?π???π??π?1
＋α??＝cos?＋α?＝， (2)由题意：sin?－α?＝sin?－?
???3??6?4?2?6π7?π??π??2?
则cos?＋2α?＝cos2?＋α?＝2cos?＋α?－1＝－.
8?3??6??6?7
答案 (1)2 (2)－
8
考点三 三角函数式的化简与求值(多维探究) 命题角度1 三角函数式的化简
αα??cos－sin??（1＋sin α＋cos α）·
22??
【例3－1】 化简：(0<α<π)＝
2＋2cos α________.
解析 原式＝
αα??αα??2α?2cos＋2sincos?·?cos－sin?222??22??
4cos2
α2
cos＝
α?
α2α2α?
?cos－sin?coscos α22?2?2
＝.
α?α????cos??cos?
22????
απ2<2
，所以cos
因为0<α<π，所以0<答案 cos α
α2
>0，所以原式＝cos α.
命题角度2 给值求值
【例3－2】 (一题多解)(2017·一模)若2tan α＝3tan ________.
π?π?
，则 tan?α－?＝
8?8?
1πππtan sin cos 82888π??
α－??解析 法一 tan＝＝＝ 8?π3?2π2π2π
1＋tan αtan 1＋tan2cos＋3sin
82888
tan α－tan
1π
sin 241＋52
＝＝. π?49π3?
1＋cos ＋?1－cos ?
4?42?法二 由tan
ππ
＝1，解得tan ＝2－1， 48
π1π1
tan ×（2－1）282π?1＋52?
所以tan?α－?＝＝＝. 83π349??
1＋tan21＋×（3－22）282答案
1＋52
49
命题角度3 给角求值
【例3－3】 [2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280＝________. ?cos 10°＋3sin 10°?
?· 解析 原式＝?2sin 50°＋sin 10°·
cos 10°??13
cos 10°＋sin 10°22
2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·)·
cos 10°2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×答案
6
3
＝6. 2
命题角度4 给值求角
【例3－4】 (2018·一模)满足等式cos 2x－1＝3cos x(x∈[0，π])的x的值为________.
1
解析 将方程化为2cos2x－3cos x－2＝0，解得cos x＝－或cos x＝2(舍去).
2因为x∈[0，π]，所以x＝
2π. 3
答案
2π
3
规律方法 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等. 2.三角函数求值有三种类型：
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般有如下两种思路；①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的围，进而确定角.
2cos4α－2cos2α＋
【训练3】 (1)化简：
1
2
π?π??2?－α＋α?sin??2tan?
?4??4?
＝________.
3
(2)(2016·课标Ⅲ卷改编)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝________.
4113π
(3)已知cos α＝，cos(α－β)＝(0<β<α<)，则tan 2α＝________，β7142＝________.
1
（4cos4α－4cos2α＋1）2（2cos2α－1）2
解析 (1)原式＝＝
?π??π??π?
2×sin?－α?4sin?－α?cos?－α?
4π????4??4?2?
·cos?－α?
?π??4?cos?－α?
?4?cos22αcos22α1
=＝＝cos 2α.
?π?2cos 2α22sin?－2α?
?2?
33
?sin α＝，?sin α＝－，??553
(2)由tan α＝，得?或?
444
cos α＝cos α＝－，??55??所以cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋4sin αcos α＝1π
(3)∵cos α＝，0<α<，
7243
∴sin α＝，tan α＝43，
7∴tan 2α＝∵0<β<α<
2tan α2×4383
＝＝－.
1－tan2α1－4847
161264
＋4×＝. 252525
ππ
，∴0<α－β<， 22
33
， 14
∴sin(α－β)＝
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 11343331＝×＋×＝， 7147142∴β＝
π
. 3
16483π
答案 (1)cos 2α (2) (3)－ 225473
一、必做题
π?4?
α＋?＝________. 1.(2018·暑假测试)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan?
4?5?43
解析 由α∈(0，π)，cos α＝－，得tan α＝－，
543－＋14π?tan α＋11?
所以tan?α＋?＝＝＝. 4?1－tan α37?
1＋4
答案
1 7
π??π?1?
2.(2017·一模)已知cos?＋α?＝?0<α
2??3?3?π?1π?22π??
解析 由cos?α＋?＝，0<α<，知sin?α＋?＝，所以sin(π＋α)
3?33?23??π?22113－22＋3?π
＝－sin α＝－sin?＋α－?＝－×＋×＝.
3?32326?3－22＋3
答案 6
1
3.(2018·调研)已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝________.
3110
解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－，所以sin α＝，cos α＝－
31031010?310?3
?＝－. ，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××?－
1010?510?3答案 －
5
11
4.(2018·、锡、常、镇四市调研)若tan α＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－
232α)＝________.
1
解析 tan(β－α)＝－tan(α－β)＝，所以tan(β－2α)＝tan[(β－α)－
311－
tan（β－α）－tan α321α]＝＝＝－. 1＋tan（β－α）tan α17
1＋61
答案 －
7
5.(2018·中学期中)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝________. 解析 由tan(22°＋23°)＝＋
tan 22°tan 23°＝1，所以(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝1＋tan 22°＋tan 23°
tan 22°＋tan 23°
＝1，得tan 22°＋tan 23°
1－tan 22°tan 23°
两角和与差的三角函数、二倍角公式
