第20讲 两角和与差的三角函数、二倍角公式
考试要求 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系(C级要求)；二倍角的正弦、余弦、正切公式(B级要求)；2.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换(C级要求).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( ) (3)公式tan(α＋β)＝
tan α＋tan β可以变形为tan α＋tan β
1－tan αtan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠
π
＋kπ，2
k∈Z.
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
3
2.(2017·卷改编)已知cos x＝，则cos 2x＝________.
431?3?22
解析 由cos x＝得cos 2x＝2cosx－1＝2×??－1＝. 48?4?1
答案
8
π1
3.(2017·卷)若tan(α－)＝，则tan α＝________.
46
π?π1?
tan?α－?＋tan ＋1
4?46π?π?7???
解析 tan α＝tan??α－?＋? ＝＝＝.
4?4?π?15π???
1－1－tan?α－?tan
4?64?答案
7
5
4.(2018·、锡、常、镇调研)已知α是第二象限角，且sin α＝
3
，tan(α＋10
β)＝－2，则tan β＝________.
3
解析 由α是第二象限角，且sin α＝，
10得cos α＝－
1
，tan α＝－3， 10
tan（α＋β）－tan α－2＋31
＝＝.
1＋tan（α＋β）tan α1＋67
所以tan β＝tan(α＋β－α)＝答案
1
7
5.(必修4P109习题4改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________. 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° 2＝sin(58°＋77°)＝sin °＝. 2答案
2 2
知 识 梳 理
1.两角和与差的三角函数公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝2.二倍角公式
sin 2α＝2sin__αcos__α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝2tan α. 1－tan2αtan α±tan β. 1?tan αtan β
注意：①在二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠kπ＋
π
，且α≠2
kππ2＋4
(k∈Z).
②“倍角”的意义是相对的，如4α是2α的二倍角，α是3.有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan__αtan__β). 1＋cos 2α1－cos 2α2
(2)cosα＝，sinα＝. 222
α2的二倍角.
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， π??
α±?. sin α±cos α＝2sin?
4??
4.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(αb?a???
＋φ)?其中tan φ＝?或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)?其中tan φ＝?.
a?b???
考点一 公式的正向、逆向使用
1
【例1】 (1)(一题多解)(2015·卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan
7
β的值为________. (2)(2016·卷)cos2
ππ
－sin2＝________. 88
解析 (1)法一 ∵tan α＝－2， ∴tan(α＋β)＝
tan α＋tan β－2＋tan β1
＝＝，
1－tan αtan β1＋2tan β7
解得tan β＝3.
法二 tan β＝tan[(α＋β)－α]
1
－（－2）7tan（α＋β）－tan α1＋14
＝＝＝＝3. 1＋tan（α＋β）tan α17－2
1＋×（－2）7
(2)由二倍角公式得cos2
答案 (1)3 (2) 2
2
ππ22π
－sin＝cos ＝. 8842
规律方法 两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的正向使用(从左往右使用)、逆向使用(从右往左使用)是本节的基础，要从角度联系、结构特征发现问题中隐含的公式特征，选择使用公式解决问题；特别要注意“尽量用已知角表示未知角”的思想方法的应用.
π?π???
【训练1】 (1)(2017·课标全国Ⅰ卷)已知α∈?0，?，tan α＝2，则cos?α－?2?4???＝________.
(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________. π?sin α?
解析 (1)因为α∈?0，?，且tan α＝＝2，所以sin α＝2cos α，又
2?cos α?sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝cos αcos
π?255?
，cos α＝，则cos?α－?＝
4?55?
ππ52252310
＋sin αsin ＝×＋×＝. 44525210
(2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ 1
sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝. 2答案 (1)
3101
(2) 102
考点二 公式的变形、灵活使用
1?π?
【例2】 (1)(2017·调研)已知sin α＋cos α＝，则sin2?－α?＝________.
3?4?(2)(2017·四校联考)已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则________.
π?3π???
(3)(2017·如东中学调研)已知α为锐角，若sin?α＋?＝，则cos?2α－?＝
6?56???________.
sin 2α的值为cos 2β
118
解析 (1)由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，3998?π?
1＋1－cos?－2α?
917?π??2?1－sin 2α所以sin2?－α?＝＝＝＝.
422218??sin 2αsin[（α＋β）＋（α－β）]
(2)＝ cos 2βcos[（α＋β）－（α－β）]＝＝
sin（α＋β）cos（α－β）＋cos（α＋β）sin（α－β）
cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）tan（α＋β）＋tan（α－β）
.
1＋tan（α＋β）tan（α－β）
2＋35
＝. 1＋2×37
将tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3代入，得原式＝π?3π?4??
(3)由sin?α＋?＝，可得cos?α＋?＝±，
6?56?5??
π?π?3－43π?4???
当cos?α＋?＝－时，cos α＝cos??α＋?－?＝<0，与α是锐角矛
6?6?6?510???π?4?
盾，所以cos?α＋?＝，
6?5?
π?π?π????
α＋2α－??－? 2?＝cos?从而cos?
66?2?????π?π?3424??
α＋α＋?·cos??＝2××＝. ＝2sin?
6?6?5525??17524
答案 (1) (2) (3)
18725
规律方法 两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：
(1)不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉； (2)善于拆角、拼角，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＋β＝(α＋β)＋α等；
(3)注意倍角的相对性，如α＝2×(4)要时时注意角的围；
(5)熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等.
α2
等；
两角和与差的三角函数、二倍角公式
