圆与方程
1. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是
(x -a) (y _b)=r
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2
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.
特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2?y2=r2.
2. 点与圆的位置关系：
(1) .设点到圆心的距离为d，圆半径为r: a.点在圆内 一d v r； b.点在圆上 一
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d=r ； c.点在圆外 一d >r (2).给定点 M(Xo，y°)及圆 C :(x -a) (y -b)^r . ① M 在圆 C 内 u (Xo—a) ?(yo-b) :::r
2
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2
②M在圆C上u (x° v) Ty。』)2 / ③ M 在圆 C 外=(X。-a) (y°-b) r
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2
2
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(3)涉及最值:
①圆外一点B，圆上一动点P ,
讨论|PB的最值
PB .=|BN = BC - r
min
PB = BM = BC +r
max
讨论PA的最值
思考：过此A点作最短的弦？(此弦垂直 AC) 3.圆的一般方程：x y Dx Ey F =0.
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(1) 当D宀
2
F 0
时，方程表示一个圆，其中圆心号诗，半径
C
JD2+E2/F
r
2
2
.
2
⑵当D E4F =0时，方程表示一个点 .
I
2 2
丿 ⑶当D E2^4F <0时，方程不表示任
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何图形?
注：方程Ax2 Bxy ■ Cy 2 Dx - Ey - F =0表示圆的充要条件是：
D 4E /AF Ao .
2
2
B =0且A = C = 0且
4. 直线与圆的位置关系： 直线 Ax By C = 0与圆(x - a)
2
(y - b) = r
2
2
圆心到直线的距离d」Aa+Bb+C|
JA +B
2
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1)d?ru直线与圆相离=无交点；
Ax 十 Bv + C = 0
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组丿2 y 求解,
x + y + Dx + Ey + F = 0 通过解的个数来判断：
(1 )当厶，0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； (2) 当厶=0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； (3 )当「…：。时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 5. 两圆的位置关系
(1)设两圆 G : (x -ai)2 ? (y -bi)2 二 / 与圆 C?: (x - a? )2 ? (y - b?)2 二匕2
，
圆心距 d = ■.⑻-a?) (bj - b?) ① ② ③ ④
d r1 r^ 外离=4条公切线
； ；
d =r1 r^=外切二3条公切线
-rj ；： d ::: r - r2 =相交二2条公切线；
d二「1「a =内切二1条公切线；
外离外切相交内切
(2) 两圆公共弦所在直线方程 圆 C1 : x y 圆 C2: x y
D x 巳 y R = 0 , D2x E2y F2 = 0，
则Di -D2 x ?巳-E2 y Fi -F2 =0为两相交圆公共弦方程? 补充说明：
① 若G与C2相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若G与C2相离，则表示连心线的中垂线方程. (3) 圆系问题
过两圆 C1 : x y - D1x - E1y F^ 0 和 C2: x y - D2x E2y F2 = 0交点的圆 系方程为 x y Ux By R …/ ：x y D2x E2y F2 =0 ( ? -1) 补充：
① 上述圆系不包括C2 ；
② 2)当＜：■■■ --1时，表示过两圆交点的直线方程(公共弦)
③ 过直线Ax By C =0与圆x2 y2 Dx Ey F =0交点的圆系方程为 x2 y2 Dx Ey F Ax By C =0
6. 过一点作圆的切线的方程： (1)过圆外一点的切线： ① A不存在，验证是否成立
② A存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 =半径，即 」y -y0=k(X1_x°)
k |b-力 *(a—xj|
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2
2
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尺=—r^—
求解A,彳得到切线方程【一定两解】
=例1.经过点P(1 , — 2)点作圆(G+1)+(y — 2)=4的切线，则切线方程 为 。 ⑵过圆上一点的切线 方程：圆(G — a)2+(y — b)2=r2，圆上一点为(Go, yo), 则过此点的切线方程为(G。一a)(G — a)+ (y° — b)(y — b)=r2 特别地，过圆x2 y^r2上一点P(X0,y°)的切线方程为x°x 丁0『=「2. 例2.经过点P( — 4，— 8)点作圆(G+7)+(y+8)=9的切线，则切线方程 为 7 ?切点弦
(1)过O C: (x-a)2 ( ^b)^r2外一点P(x°,y0)作O C的两条切线，切点分别为 A、B，则切点弦AB所在直线方程为：(X。-a)(x-a) ? (y° -b)(y - b) = r2 8. 切线长： 若圆的方程为(G-a)
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2
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。
(y-b)=r，则过圆外一点P(Go,yo)的切线长为
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d = 、. (xo - a) + (yo ~ b) - r - 9. 圆心的三个重要几何性质：
① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上；
③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法
例.已知圆Cl: G2+y2—2G=0和圆C2： G2+y2+4y=0，试判断圆和位置关系, 若相交，则
设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。 一、求圆的方程
例1(06重庆卷文)以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y，5=0相切的圆的方 程为()
2 2 2 2
(A)(x-2) (y 1) =3(B)(x 2) (y T) =3
(C)(x 一2)2 (y 1)2 =9(D)(x 2)2 (y-1)^9 二、位置关系问题
例2（06安徽卷文）直线x y =1与圆x ? y 一 2ay = 0 （a 0）没有公共点, 则a的取值范围是（）
(A) (0, .2 T)(B)( . 2 -1八 2 1) (C)(-、、2 -1, .2 三、切线问题
例3（06重庆卷理）过坐标原点且与圆
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1)(D) (0, ? 2 1)
5
24x 2yX八芦0相切的直线方
程为（）
= ](B)y
(A) y ~ -3x 或 y
—1x(D) y
(C) y - -3x 或 y 四、弦长问题
例4（06天津卷理）设直线ax「y，3 = 0与圆（x - 1）2 ■ （y - 2）2 = 4相交于 A、B两点，且弦AB的长为2.3，则a二 .
五、 夹角问题
例5（06全国卷一文）从圆x2 -2x ? y2 -2y ? 1-0外一点P（3,2）向这个圆作 两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）
1 3 . 3
（A） 1 （B） 3 （C） — （D）0
2 5 2 六、 圆心角问题
例6（06全国卷二）过点（1「2）的直线I将圆（x-2）2，y2 = 4分成两段弧，
当 劣弧所对的圆心角最小时，直线I的斜率k二
七、最值问题
例7（06湖南卷文）圆x y -4x - 4y T0 = 0上的点到直线x，y - 14 = 0的 最大距离与最小距离的差是（）
2
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圆与方程知识点总结典型例题
